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1、求数列通项问题的思维流程研究山东博兴县第二中学 （256500） 卢振路 求数列的通项是高中数学中数列部分的最基本问题之一，对它的研究涉及到的知识点多，综合性强，是学生学习的一个难点。本文试图在详细剖析各类求数列的通项问题的基础上，从学生解题的思维流程角度，找出各类问题之间的内在联系，总结出解决这类问题的一般的思维模式. 求数列的通项问题的基本类型及其解题规律如下： 一、已知数列 的递推关系式，求通项 【例1】已知数列 满足=8 , =2 , 且 -2+ =0 (nN+)，求通项. 解：nN+ ，-2+ =0，-=- ,-=-=-=-，数列是等差数列.故可设其通项公式为=-(n-1)d ( n
2、N+),由=+(4-1)d可得,d= -2, =-2 n+10( nN+). 本题给出的递推公式稍加变形后,正好符合等差数列的定义,所以可根据给定的条件由待定系数法直接求得. 【例2】已知：各项均为正数的数列an满足=1, (n+1) + -n=0（nN+),求其通项. 解法一：(n+1)+-n=0， (n+1) +-n=0 ， =-1（舍去），或 = ， 由 = （n N+)可得, = = = = = , 即 = . 解法二：同解法一 得到 = （n N+)， 即(n+1) -n=0（n N+),故n是公差为0的等差数列，所以n=1=1，即= （n N+). 解法三：同解法一 得到 = （n
3、 N+)，由 =1可得，= ，= ，= ，故可猜想= （n N+)，再由数学归纳法证明（略）. 本题在无法直接使用基本数列（指等差数列和等比数列，下同）定义的情况下，可连续使用递推公式（以下称这种方法为“迭代法”）而得到数列的通项.如果考虑不到这一点或者无法实施这种迭代,可考虑引进辅助数列,使得 =f()（n N+),如果的满足基本数列的定义或者可使用迭代而能求出其通项,也就得到了的通项.如果引进辅助数列的方法仍旧无法奏效,还有最后一招，即采用归纳猜想证明的方法,之所以把它作为最后一招,因为毕竟它是以上各种方法中最繁琐的一种,而我们的学生却往往把它作为首要的方法,这种思维顺序上的颠倒应予纠正.
4、二、已知数列的前n项和求通项 【例3】已知数列的前项和=+3,nN+,求通项an. 解：当n=1时，=2+3=5 ；当n2，nN+时, =- =+3-3=， 故an= . 已知数列的前n项和求通项问题可直接利用 与的关系式 = (以下简称该关系式为“基本关系”）求得 ，但需要特别注意的是,使用这个关系式必须对n=1时的情形单独讨论 ，特别是不适和当n2时的表达式时，忽略这一点就会致错. 【例4】数列对于nN+,r为常数, 都满足+= 9-6n,求通项. 解：+= 9-6n（nN+）即为数列的前n项和,当n=1时，=9-6=3 ,当n2，nN+时，=-=9-6n-9+6(n-1) =-6, =
5、. 本题表明在未知数列的前n项和的情况下,和第一类问题类似的是,如果知道了的辅助数列的前n项和,则可通过求出的通项而得到的通项. 三、已知数列的前n项和与通项的关系式求通项 【例5】已知是数列的前n项和，且=5-3（nN+），求数列的通项. 解： nN+都有=5-3, n2时 , -=5（-）=5 , 4=即 = -（n2）, 又当n=1时，由 =53 可得 = ， 是一个首项为 ，公比为 - 的等比数列，故= . 本例表明已知数列的前n项和与通项的关系式求通项问题,在多数情况下可直接利用基本关系= 消去与有关项 后可得到的递推公式,从而转化为第一类问题而解决.因此解决此类问题的首要步骤是力求
6、获得的递推公式.【例6】 已知各项均为正数的数列的前n项和为，且=( + ) ,（nN+） , 求此数列的通项. 解：n2时 =-,=( + )可化为= (-+ ),化简得 = 1 , 又当n=1时，由 = = ( + ) 可得 ， =1, 是一个首项为1，公差为 1的等差数列, =1+n-1=n，从而= , n2时 =-= - ， 又 当n=1时，a =1也适合上式,= -（nN+）. 本题在探索思路时也试图象例5那样获得 的一个递推公式,但事实表明,这种努力是徒劳的,也就是说通向转化为第一类问题的道路被堵塞了.此时,考虑到求出转化为第二类问也可求出通项,就果断地利用基本关系消去,先得到的递
7、推公式,根据第一类问题的解法求出 ,再根据第二类问题的解法求出.当然作为一种几乎是万能的解法,如果以上的思路无法奏效,我们还可以利用归纳猜想证明的方法来解决,但是考虑到它的繁琐,我们把它作为最后的出路.根据以上的分析,我们可以的出如下结论:1.对于每一类数学问题,仅仅知道它有几种解法是不够的,更重要的是我们应该弄清每种解法的使用条件及其相互关系,建立正确合理的思维顺序.2.对于求数列的通项这类问题,我们已经看到第三类问题的解决涵盖了前两类问题,前两类问题解决过程只是第三类问题的解决过程的一部分.因此,掌握了第三类问题,也就掌握了整个求数列的通项问题的解法. 基于以上认识,我们把第三类问题的解题思维过程用流程图的形式在下面给出,作为本文的结束语: 求数列通项问题的思维流程图已知的与关系式求通项已知的递推公式,求通项 归纳猜想证明已知求通项求出通项 是是否否否否否是是是是否可利用基本关系得到的 递推公式是否符合基本数列的定义?是否可使用迭代法?是否可引进基本数列,使得=f() ?是否可利用基本关系得到的递 推公 式- 2 -
