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1、基本方法：点差法 适用类型：出现弦中点和斜率的关系已知椭圆C：，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点，求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON 。解：设，设，将其带入椭圆C得：减，并整理，得：进一步整理：题型：求轨迹方程类型：弦中点型曲线E：，过点Q（2,1）的E弦的中点的轨迹方程。解：设直线与椭圆交与两点，中点为由点差法可得：弦的斜率,由，Q（2,1）两点可得弦的斜率为,所以，化简可得中点的轨迹方程为：. 练习：推荐精选已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.设（为原点），求点的轨迹方程答案：类型：动点型在直角坐标系中，已知一个圆心在坐标原点，半径为2的圆，从
2、这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP，P为垂足.求线段PP中点M的轨迹C的方程。解：设M(x，y)，P（x1，y1），则则有： 得轨迹C的方程为 练习设分别是椭圆C：的左右焦点，K是椭圆C上的动点，求线段的中点B的轨迹方程。解： 练习：已知,点在轴上，点在的正半轴上，点在直线上，且.当在轴上移动时，求点轨迹C 答案：推荐精选类型：动线交点型设向量，过定点，以方向向量的直线与经过点，以向量为方向向量的直线相交于点P，其中，求点P的轨迹C的方程。解：设，,过定点，以方向向量的直线方程为：,过定点，以方向向量的直线方程为：,联立消去得： 求点P的轨迹C的方程为.在ABC中，B是椭圆在x轴上方的顶点，
3、是双曲线位于x轴下方的准线，当AC在直线上运动时，求ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程。解：易知点直线方程是且在直线上运动。可设则的垂直平分线方程为 的垂直平分线方程为 P是ABC的外接圆圆心，点P的坐标满足方程和。 由和联立消去得，故圆心P的轨迹E的方程为题型：动态定值问题推荐精选 类型：存在性问题双曲线C：的左右焦点分别为，直线过点且与双曲线C交于、两点。设点，问：是否存在实数，使得直线绕点无论怎样转动，都有成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.解：当直线l的斜率不存在时，易知，计算得；当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消得，设、，则.假设存在实数，使得，故
4、得恒成立，解得 当时，.，推荐精选综上，存在，使得.练习抛物线：，焦点，过点作两条互相垂直的曲线的弦、，设、 的中点分别为问：直线是否过某一定点？若经过，求出该定点；不经过，请说明理由。解：类型：恒成立问题设圆过，且圆心在曲线：上，是圆在轴上截得的弦，试探究当运动时，弦长是否为定值？为什么？解：设圆的圆心为，圆过，圆的方程为.令得：.设圆与轴的两交点分别为，,不妨设，由求根公式得，.又点在抛物线上，即4.当运动时，弦长为定值4.推荐精选练习如图，已知椭圆，点M（2，1），平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（m0），l交椭圆于A、B两个不同点。求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.解
5、：设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可.,设，则且，故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 推荐精选过双曲线的上支上一点作双曲线的切线交两条渐近线分别于点.求证：为定值。解：2 类型：能够转化为直线垂直的特殊几何问题（矩形问题）过点Q(2,0)作直线l与曲线C：交于A、B两点，设N是过点，且以为方向向量的直线上一动点，满足（O为坐标原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.解： 当直线l的斜率不存在时，与椭圆无交点，不符合题意.所以设直线l的方程为y = k(x+2)，与椭圆交于A(x1，y1)
6、、B(x2，y2)两点，N点所在直线方程为由由= 即 即，四边形OANB为平行四边形 假设存在矩形OANB，则，即，即，于是有,得 检验：设,即点N在直线推荐精选上.存在直线l使四边形OANB为矩形，直线l的方程为（三点共圆问题）设直线与双曲线交于不同的两点A、B，是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过点D（0，2）？若存在，求出k的值，若不存在，说明理由.解：设A、B点的坐标分别为、，由 得，AB与双曲线交于两点，0，即解得若以AB为直径的圆过D（0，2），则ADBD，即， 解得，故满足题意的k值存在，且k值为.题型：动态最值问题 类型：转化为函数关系，并通过交点情形找出限定范围 推荐
7、精选设过的直线与曲线C：交于两个不同点M、N，求的取值范围。解：当直线的斜率不存在时，与曲线无交点，不合题意，可设直线的方程为：，与曲线交于,则由 ，的取值范围是.练习曲线：的准线线交轴于，过的直线交曲线于两点，又的中垂线交轴于点，求横坐标取值范围。解： 横坐标取值范围推荐精选曲线E是双曲线C：的右支，焦点为，直线过点且与双曲线C交于、两点。过、作直线的垂线、，垂足分别为、，记，求的取值范围. 解法一：（一般方法）直线的斜率不存在时，当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立得，设、，解得.直线是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：，.综上， 解法二：（仅适用于双曲线情形，因为双曲线
8、可以以渐近线判断交点个数）设直线的倾斜角为，推荐精选双曲线的渐近线为由于直线与双曲线右支有二个交点，过作，垂足为，则， 由，得,故 .类型：巧用求取值范围椭圆C：,过点P（0，m）的直线l与椭圆C交于相异两点A、B，且，求m的取值范围解：,（），（1），14，3 设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）,得（k22）x22kmx（m21）0,（2km）24（k22）（m21）4（k22m22）0 即k22m2-2 x1x2， x1x2.3 ,x13x2 ,消去x2，得3（x1x2）24x1x20，3（）240,整理得4k2m22m2k220.m2时，上式不成立；m2时，k2， 将代
9、入，得：2m2-2，解，得：1m 或 m0， 故直线AB的垂直平分线方程为令x=0，得 等号，所以所求的取值范围是。 解法二：（点差法）设斜率为k所以，两式相减并整理，得：推荐精选又直线AB过F点，故：解方程组，得：，（剩余部分如上解法） 类型：转化为轨迹方程已知点与椭圆：，过点作直线与轨迹交于、两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围解：由点差法可得点的轨迹方程为设直线：（其中），则，故由，即，解之得的取值范围是几类考察方式：题型：单纯的计算问题类型：垂直问题（垂直问题）已知双曲线、是双曲线上不同的两点，且，求直线的方程 解：，M、B2、N三点共线 , 当直线垂直x轴时，显然不合题意 当直
10、线不垂直x轴时，由B1（0，3），B2（0，3），推荐精选可设直线的方程为，直线的方程为 由，知 代入双曲线方程得，整理得，解得 , ，故直线的方程为 练习：双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，O为坐标原点，D1、D2分别是双曲线的虚轴端点（D2在y轴正半轴上），过D1的直线l交双曲线M、N，求直线l的方程。答案：题型：巧用几何性质简化计算过程已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.若直线的倾斜角为60，求的值.解：设椭圆另一个焦点为，在中设，则由余弦定理得。同理，在，设，则，也由余弦定理得于是。题型：三角形面积问题推荐精选类型：已知面积，求直线方程已知曲线C：，过点当AOB的面积为时（
11、O为坐标原点），求的值。解：当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，设直线m的方程为，代入 （）设交点A，B的坐标分别为，则. 点O到直线m的距离，.，（舍去）,.当方程（）的解为,若若.当方程（）的解为,若若.推荐精选练习过点E(-2，0）的直线交椭圆C：于点M、N，且满足，(O为坐标原点)，求直线的方程。解：故直线的方程为:练习：已知椭圆C：F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M、N两点在椭圆C上运动，且，定点A（4，0）.当 的值为6时, 求出直线MN的方程.答案： 或 类型：求三角形面积最值问题设直线与椭圆相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点.若的面积
12、取得最大值时的椭圆方程证：设由 得将代入消去得 由直线l与椭圆相交于两个不同的点得整理得推荐精选，即 由，得而点, ,得代入上式，得 于是OAB的面积 其中，上式取等号的条件是即 由可得,将及这两组值分别代入，均可解出经检验：与能够满足OAB的面积取得最大值的椭圆方程是 类型：特殊三角形的判定问题曲线：的准线线交轴于，过的直线交曲线于两点，又的中垂线交轴于点，试判断能否为正三角形.若能，求出直线AB的斜率；若不能，请说明理由。解：假设是正三角形则有： N（1，0）可设：，由由 推荐精选设， AB的中点为，AB的中垂线为，令，得：点到直线AB的距离为： 将代入，计算得：，满足 题型：与圆结合的计算性问题抛物线的焦点为N，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，问：是否存在一条直线同时满足下列条件： 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为； 被圆N截得的弦长为解法一：假设存在直线满
