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1、初二数学经典题型1 .:如图，P是正方形ABCD内点，/PAD=ZPDA=150.求证：PBC是正三角形.证明如下。-15 =75那么,所以 PAQ首先，PA=PD,/PAD=/PDA=180-150R2=15,/PAB=90在正方形ABCD之外以AD为底边作正三角形ADQ,连接PQ,/PDQ=60+15=75,同样/PAQ=75,又AQ=DQ,PA=PDPDQ,那么/PQA=/PQD=60+2=30,在PQA中，/APQ=180-30-75=75=/PAQ=/PAB,于是PQ=AQ=AB,显然PAQAPAB,得/PBA=ZPQA=30,PB=PQ=AB=BC,/PBC=90-30=60,所以
2、ABC是正三角形。AD、BC的延长2 .:如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是AB、CD的中点,线交MN于E、F.求证：/DEN=/F.证明：连接AC,并取AC的中点G,连接GF,GM.又点N为CD的中点，那么GN=AD/2;GN/AD,/GNM=/DEM;(1)同理：GM=BC/2;GM/BC,ZGMN=/CFN;(2)又AD=BC,刃B么:GN=GM,/GNM=/GMN.故:/DEM=/CFN.3、如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.求证：点P到边AB的距离等于AB的一半.M、 O、 N,证明：分别过E、C、
3、F作直线AB的垂线，垂足分别为在梯形MEFN中，WE平彳TNF因为P为EF中点，PQ平行于两底所以PQ为梯形MEFN中位线，所以PQ=ME+NF/2又因为，角0CB+角OBC=90=角NBF+角CBO所以角OCB二角NBF而角88=角Rt=角BNFCB=BF所以OCB全等于4NBFMEA全等于OAC同理所以EM=AO,0B=NF所以PQ=AB/2.4、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且/PBA=ZPDA,求证：/PAB=/PCB.过点P作DA的平行线，过点A作DP的平行线，两者相交于点E;连接BE因为DP/AE,AD/PE所以，四边形AEPD为平行四边形所以，/PDA=ZAEP,/PDA=
4、/PBA所以，/PBA=/AEP所以，A、E、B、P四点共圆所以，/PAB=/PEB因为四边形AEPD为平行四边形，所以：PE/AD,且PE=AD而，四边形ABCD为平行四边形，所以：AD/BC,且AD=BC所以，PE/BC,且PE=BC即，四边形EBCP也是平行四边形所以，/PEB=/PCB所以，/PAB=/PCB5 .P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,PB=2a,PC=3a正方形的边长.解：将BAP绕B点旋转90使BA与BC重合，P点旋转后到Q点，连接PQ因为BAPABCQ所以AP=CQ,BP=BQ,/ABP=/CBQ,/BPA=/BQC因为四边形DCBA是正方形所以/CBA=90
5、，所以/ABP+/CBP=90，所以/CBQ+/CBP=90即/PBQ=90,所以BPQ是等腰直角三角形所以PQ=V2*BP,ZBQP=45因为PA=a,PB=2a,PC=3a所以PQ=2v/2a,CQ=a,所以CPA2=9aA2,PQA2+CQA2=8aA2+aA2=9aA2所以CPA2=PQA2+CQA2,所以CPQ是直角三角形且/CQA=90所以/BQC=90+45=135,所以BPA=/BQC=135作BMPQ那么BPM是等腰直角三角形所以PM=BM=PB/，2=2a/，2=，2a所以根据勾股定理得：ABA2=AMA2+BMA2=（，2a制人2+（V2a）A2=5+2A/2aA2所以A
6、B=，（5+2A/2）a6 .一个圆柱形容器的容积为V立方米，开场用一根小水管向容器内注水，水面高度到达容器高度一半后，改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。向容器中注满水的全过程共用时间t分。求两根水管各自注水的速度。解：设小水管进水速度为x,那么大水管进水速度为4x。,一rvv由题意得：一t2x8x一5v解之得：x5v8t5v经检验得：x一是原方程解。8t5v2t5v.小口径水管速度为一，大口径水管速度为8t7 .如图11,正比例函数和反比例函数的图像都经过点M一2,一1，且P-1,2为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B.1写出正比例函数
7、和反比例函数的关系式;2当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q,使得OBQ与OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；3如图12,当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ,求平行四边形OPCQ周长的最小值.IM一 ，一，一11坐标代入得k =-,所以正2解：1设正比例函数解析式为ykx,将点M2,一一，一，1比例函数解析式为y=x2，一，一，2同样可得，反比例函数解析式为y=-x2当点Q在直线DO上运动时，、一.一1设点Q的坐标为Q(m,-m),于是SOBQOBXBQ=-xmmm2,OBQ2224而Seap=2l(T/
8、(2)=1,一一12八所以有，一m2=1,解得m24所以点Q的坐标为Q(2,1DQ2(-2,-1)3因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ,OQ=PC,而点P1,2是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值.因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q(n,-),n由勾股定理可得OQ2=n2+，2=(n2)2+4,nn一2o2一所以当(n)2=0即n=0时，OQ2有最小值4,nn又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，所以OQ有最小值2.由勾股定理得OP=J5,所以平行四边形OPCQ周长的最小值是8.如图，P是边长为1的正
9、方形ABCD对角线AC上一动点P与A、C不重合，点E在射线BC上，且PE=PB.1求证：PE=PD;PEPD;2设AP=x,4PBE的面积为y. 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值X围；当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.解：1证法一：四边形ABCD是正方形，AC为对角线，BC=DC,/BCP=/DCP=45.PC=PC, .PBCAPDCSAS. .PB=PD,/PBC=/PDC.又.PB=PE,PE=PD.i当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，.PB=PE, ./PBE=ZPEB, ./PEB=ZPDC,ZPEB+ZPEC=ZPDC+ZPEC=180, ./DPE=3
10、60-(/BCD+/PDC+/PEC)=90,.PEXPD.ii当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PEPD.iii当点E在BC的延长线上时，如图.PEC=ZPDC,/1=/2, ./DPE=ZDCE=90,PEXPD.综合iiiiii,PEXPD.2过点P作PF,BC,垂足为F,那么BF=FE.AP=x,AC=22,PC=2-x,PF=FC=_(2x)1x.22BF=FE=1-FC=1-(1_2x)=_2x.2222122 Sapbe=BF,PF=x(1x)x2222即y1x2包x(0xV2).22 1221221yxx-(x)-.222241a1apbe=BF,PF=x(1x)
11、x222即yx2x(0vx42).222(x.2、21T)410时x的取值X围；3如图，等腰梯形OBCD中，BC/OD,OB=CD,OD边在x轴上，过点C作CEXOD于点E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由.y.一1k.一10、如图12,直线yx与双曲线y(k0)交于A,B两点，且点A的横坐标为2x4.1求k的值;k.一2假设双曲线y(k0)上一点C的纵坐标为8,求4AOC的面积；xk一一3过原点O的另一条直线l交双曲线y(k0)于P,Q两点P点在第一象限xy4假设由点A,B,P,Q为顶点组成的四边形面积为24,求点P的坐标.图12
