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1、构造相似三角形解题构造相似三角形的基本方法1. 由平行得相似，如图和；2. 由同角或等角得相似，如图；3. 由垂直得相似，如图。方法归纳：在较为复杂的图形中，我们一般通过特殊图形（如等腰三角形、平行四边形、圆等）的边或角构造相似三角形，如需添加辅助线，应考虑添加辅助线后能构成相等的角或比例线段，如：过中点（或等分点）作平行线，过某点作平行或垂直等。总结：1. 学会构造相似三角形的方法和技巧，能熟练地将边和角划分到相关的相似三角形中。2. 能够综合运用相似三角形的判定和性质解决较为复杂的问题。例题 如图所示，四边形ABCD和BEFG均为正方形，则AGDFCE（ ）A. 111B. 121C. 1
2、D. 11解析：不难证明ABGCBE，所以AGCE。那么，本题只要求AGDF即可。要求AG和DF的比需要构造一个含有这两条线段的相似三角形，并且这对相似三角形的相似比要能求出来。在正方形中，边长和对角线的比是可求的，所以本题可试着连接BF和BD，通过三角形相似来求解。答案：连接BF、BD。因为ABGABEEBGABE90，CBEABEABCABE90。所以ABGCBE，又ABBC，BGBE，所以ABGCBE，所以AGCE。因为DBFABEABDEBFABE4545ABE90，所以DBFABG。又因为所有正方形都相似，所以这两个正方形的对角线的比BDBF、边长的比ABBG，都等于这两个正方形的相
3、似比，即BDBFABBG，所以ABBDBGBF，所以ABGDBF。所以AGDFBGBF1。所以AGDFCE11。故选D。点拨：本题难度大，特别是确定AG和DF的关系是一大难点。解答这类难题，我们束手无策时，一定要展开联想，寻找问题的突破口。如：线段的比往往要通过相似形来求；四边形常常要连接对角线；两个正方形变换形成的三角形中可能有全等三角形；正方形边长和对角线的比是1。利用相似三角形求线段的比例关系时，有些题目根本无法将所求线段构造成相似三角形的对应线段，此类问题通常用如下的方法过渡：再构造一个与之相似的三角形，利用相似三角形的传递性解题；把不能划分到相关相似三角形中的线段进行等量代换等。例题
4、 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F。（1）如图，当时，求的值；（2）如图，当DE平分CDB时，求证：AFOA；（3）如图，当点E是BC的中点时，过点F作FGBC于点G，求证：CGBG。解析：（1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，因为CEF和CDF同高，所以其面积的比就是EF与DF的比值；（2）利用三角形的外角和定理证得ADFAFD，可以证得ADAF，在直角AOD中，利用勾股定理可求得ADOA，从而得出AFOA；（3）连接OE，易证OE是BCD的中位线，然后根据FGC是等腰直角三角形，易证EGFECD，利用相似三角形的
5、对应边的比相等即可得证。答案：（1）解：，。四边形ABCD是正方形，ADBC，ADBC，CEFADF，。（2）证明：DE平分CDB，ODFCDF，又AC、BD是正方形ABCD的对角线。ADOFCD45，AOD90，OAOD，而ADFADOODF，AFDFCDCDF，ADFAFD，ADAF，在直角AOD中，根据勾股定理得：ADOA，AFOA。（3）证明：连接OE，点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点。点O是BD的中点。又点E是BC的中点，OE是BCD的中位线，OECD，OECD，OFECFD。，。又FGBC，CDBC，FGCD，EGFECD，。在直角FGC中，GCF45，CGGF，又CD
6、BC，。CGBG。点拨：本题是勾股定理、三角形的中位线定理，以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键。（答题时间：45分钟）一、选择题*1. 如图所示，已知ADEFBC，若ADEFBC124，则梯形AEFD与梯形EBCF的面积之比为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 23*2. 如图，正方形ABCD的边长为1，M、N为BD所在直线上的两点，且AM，MAN135，则四边形AMCN的面积为（ ）A. B. 2C. D. 3*3. 如图所示，已知在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN交AC于P、Q两点，则APPQQC（ ）A. 113B. 325C. 5
7、312D. 5410*4. 如图所示，四边形ABCD是一个矩形，AD12、AB5，P是AD上任意一点，PEBD于点E，PFAC于点F。则PEPF（ ）A. B. C. 5D. 二、填空题5. 如图，在等边ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE60，BD3，CE2，则ABC的边长为_。*6. 如图，在ABC中，ABAC13，BC10，D是AB的中点，过点D作DEAC于点E，则DE的长是_。*7. 如图，ABC中，AB9，AC6，点E在AB上且AE3，点F在AC上，连接EF，若AEF与ABC相似，则AF_。*8. 如图所示，点C在线段BG上且四边形ABCD是正方形，AG与BD、CD
8、分别相交于点E、F，如果AE5且EF3，那么FG_。三、解答题9. 如图所示，在ABC中，ABAC，D是ABC的外接圆的上任一点，连接AD、BD。求证：。*10. 如图所示，ABC中，AD平分BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于点E。求证：DE2BECE。*11. 如图所示，在ABC中，BAC90，ADBC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于点F。求证：。*12. 如图所示，F为正方形ABCD的边AB的中点，E为AD上的一点，AEAD，FGCE于点G。求证：FG2EGCG。1. C 解析：延长BA、CD交于点O，则OADOEFOBC，设SOADs，则SOEF4s，SOBC16s，所以
9、S梯形AEFDS梯形EBCF3S12S14。2. C 解析：过点A作AEBD于点E，则点E是BD中点。在RtAEM中，AM，AE，ME，BM。MAN135，MABNAD45，又ANDNADADB45，AMBMABABD45，ANDMAB，NADAMB，ANDMAB，即，DN。MNBMBDDN，又AMN和CMN面积相等，四边形AMCN的面积是2MNAE2。3. C 解析：DCBA，APMCPD，APAC。同理，AQAC。PQACACAC，又QCAC，APPQQC5312。4. B 解析：根据题意可得ACBD13且PDEBDA、PAFCAD，所以，即，所以PDPE，PAPF，所以PDPA（PEPF
10、）AD，即（PEPF）12，所以PEPF。5. 9 解析：ABC是等边三角形，BADCAD60。CADADECDEC180，C60，ADE60，CADCDE60。BADCDE，又BC60，BADCDE，设ABC的边长为x，则，解得x9。6. 解析：过点A作AGBC于点G，过点B作BFAC于点F。则AGCBFC，。ABAC，AGBC，BC10，BG5，AG12。，BF。DEAC，BFAC，DEBF，又点D是AB的中点，DEBF。7. 2或 解析：当AEFABC时，则，即，AF2；当AEFACB时，则，AF。AF2或。8. 解析：设正方形ABCD的边长为a，由ADEGBE得 ；由ADFGCF得，即
11、 。由可得，解得FG。9. 证明：ABAC，ABEC，DC，ABED，又BADBAE，ABEADB，。10. 证明：连接AE，EF垂直平分AD，AEDE，FAEFDE。BFDEBAD，CAEFAECAD，又BADCAD，BCAE。又AEBCEA，ABECAE，即DE2BECE。11. 证明：由BAC90，ADBC易得ABDCBA，。ABDDAF90，ABDC90，DAFC。又点E是RtADC斜边AC的中点，EDEC，CCDE，又CDEBDF，BDFDAF。又FF，ADFDFB，。12. 证明：连接EF、CF。由AEAD，AFBFAB，四边形ABCD为正方形，得。AB90，EFAFCB，12。2390，1390，EFC90。FGCE，易证EFGFCG，FG2EGCG。
