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1、直线、圆的位置关系一【课标要求】1能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；2探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；3能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；4能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；5在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。二【命题走向】本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、 与距离有关的问题、 直线与圆的位置关系（特别是弦长问题） ，此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识预测 2010 年对本讲的考察是：（ 1）一个选择题或一个填
2、空题，解答题多与其它知识联合考察；（ 2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；（ 3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力三【要点精讲】1直线 l1 与直线 l 2 的的平行与垂直（ 1）若 l1， l2 均存在斜率且不重合： l 1/l 2k1=k 2； l 1 l2k1k2= 1。（ 2）若 l1 :A1 x B1 y C10,l 2 :A2 x B 2 y C2 0若 A1、 A2、 B1、 B2 都不为零。 l1/l 2A1B1C1 ；A2B2C2 l1l 2A1A2+B1B2=0； l1 与
3、 l2 相交A1B1 ；A2B2 l1 与 l2 重合A1B1C1；A2B2C2注意：若 A2 或 B2 中含有字母，应注意讨论字母 =0 与 0 的情况。两条直线的交点 :两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数2 距离（ 1）两点间距离：若A (x1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ，则 AB( x2x1 ) 2( y2y1 )2特别地： AB / x 轴，则 AB| x1x2 |、 AB / y 轴，则 AB| y1y2 | 。（ 2 ） 平行 线间 距 离 ：若l1 : AxByC10, l 2 : AxByC20 ，1/14C1C2则： d。注意
4、点： x， y 对应项系数应相等A 2B 2（ 3）点到直线的距离：P( x, y ),l :AxBy C 0 ，则P 到 l 的距离为：AxByCdB 2A 23直线 AxByC0 与圆 (xa) 2( yb) 2r 2 的位置关系有三种（ 1）若 dAaBbC相离0 ；A2， d rB 2（ 2） dr相切0 ；（ 3） dr相交0。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组AxByC0x 2y 2Dx求解，通过解Ey F 0的个数来判断：（ 1）当方程组有2 个公共解时（直线与圆有2 个交点），直线与圆相交；（ 2）当方程组有且只有1 个公共解时（直线与圆只有1 个交点），直线与圆相切；（
5、3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心 C 到直线 l的距离为 d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r 0；相交d0 ；相离dr0 。4两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为 r1， r2， O O2d 。1dr1r2外离4条公切线 ；dr1r2外切3条公切线 ；r1r2dr1r2相交2条公切线 ；dr1r2内切1条公切线 ；0dr1r 2内含无公切线 ；2/14外离外切相交内切内含判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决四【典例解析】题型 1：直线间的位
6、置关系例 1（ 全国文15）已知圆 O： x 2y25 和点 A（ 1，2），则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于1【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=( x-1) ，即 x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上5 和 515225的截距分别是，所以所求面积为5。2224【答案】254【总结点评】 本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关系等知识，数形结合与分类讨论的思想方法，以及定性地分析问题和解决问题的能力.（2）已知两条直线 l1 : ax 3 y 3 0, l2 : 4x 6y 10. 若 l1 / l 2 ，则 a _ 。解析：（ 1）答案：1 ；（
7、2）2。2点评：（ 1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证k AB k AC ；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。例 2已知两条直线y ax 2 和 y(a 2) x1 互相垂直，则 a 等于（）A 2B1C 0D 1（ 2）（2007 安徽理， 7）3/14若曲线 y x4 的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为（）A 4x y 3 0B x 4 y 5 0C 4x y 3 0D x 4 y 3 0解析：（ 1）答案为D （； 2）与直线 x4y80 垂直的直线 l 为 4xym0 ，即 y x4在某一点的导数为4，而 y 4x3，所以 yx4
8、在 (1 ， 1) 处导数为4 ，此点的切线为4xy30 ，故选 A。点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。题型 2：距离问题例 3 将直线 2 xy0沿 x 轴向左平移1 个单位，所得直线与圆 x2y22x4 y0相切，则实数的值为（）（A）3或 7（B）2 或 8（C）0 或 10（D）1 或 11【思路点拨】 本题考查了平移公式、直线与圆的位置关系，只要正确理解平移公式和直线与圆相切的充要条件就可解决 .【正确解答】由题意可知：直线2xy0 沿 x 轴向左平移1 个单位后的直线l 为：2( x1) y0 .已知圆的圆心为O(1,2)
9、，半径为5 .解法 1：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有| 2(11)2|5 ，得3或 7.5解法2：设切点为 C ( x, y) ，则切点满足 2( x1) y0 ，即 y2( x1)，代入圆方程整理得： 5x2(24 ) x( 24)0，（*）由直线与圆相切可知， （ * ）方程只有一个解，因而有0 ，得3或 7.解法3：由直线与圆相切，可知COl ，因而斜率相乘得 1，即 y221，又因为x1C ( x, y) 在圆上， 满足方程 x2y22x4 y0 ，解得切点为(1,1)或 (2,3) ，又 C(x, y)在直线 2( x 1)y0 上，解得3或 7.（2）（湖北文14）过原点 O 作圆 x22-6x8y 20=0 的两条切线，设切点分别为、 ，+yP Q则线段 PQ的长为。【解析】可得圆方程是( x 3)2( y4)25 又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 PQ4.4/14例 4。 ( 圆、向量与三角函数 )设 A、 B 为圆 x2 y2 1上两点， O为坐标原点（ A、 O、 B 不共线）（）求
