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1、 1 1第六章 数列第一节 等差数列与等比数列题型67 等差（等比）数列的公差（公比）1.（20xx辽宁4）下面是关于公差的等差数列的四个命题：数列是递增数列； 数列是递增数列；数列是递增数列； 数列是递增数列；其中的真命题为( ).A. B. C. D. 2.（20xx江西理3）等比数列，的第四项等于（ ）.A B C D3. (20xx全国新课标卷理3）等比数列的前项和为，已知，则（ ）.A. B. C. D. 4. (20xx福建理9）已知等比数列的公比为，记，则以下结论一定正确的是（）A. 数列为等差数列，公差为 B. 数列为等比数列，公比为 C. 数列为等比数列，公比为 D. 数列为
2、等比数列，公比为 5.（20xx 北京理 5）设是公比为的等比数列，则“”是“”为递增数列的（ ）.A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.（20xx 福建理 3）等差数列的前项和，若，则( ).A. B. C. D.7.（20xx 辽宁理 8）设等差数列的公差为，若数列为递减数列，则（ ）.A B C D8.（20xx 重庆理 2）对任意等比数列，下列说法一定正确的是（ ）.A. 成等比数列 B. 成等比数列C. 成等比数列 D. 成等比数列9.（20xx 安徽理 12）数列是等差数列，若，构成公比为的等比数列，则 .10.（20xx湖南理14
3、）设为等比数列的前项和，若，且，成等差数列，则 .10.解析 因为，成等差数列，所以，即，得，所以.又因为为等比数列，所以.11.（20xx陕西理13）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为20xx，则该数列的首项为 11.解析 当项数时，中位数，所以；当项数时，中位数，所以.综上所述，首项为.12.（20xx浙江理3）已知是等差数列，公差不为零，前项和是，若成等比数列，则（ ）A. B. C. D.12.解析 因为成等比数列，所以，即，所以因为，所以，所以又 ，所以故选B13.（20xx重庆理2）在等差数列中，若，则（ ）.A. B. 0 C. 1 D. 613.解析 由等差中项知：
4、，所以.故选B.14.（20xx全国乙理3）已知等差数列前项的和为，则（ ）.A. B. C. D.14.C 解析 设等差数列的公差为，由，得.又，则，得.故.故选C.15.（20xx天津理5）设是首项为正数的等比数列，公比为，则”“是”对任意的正整数，“的（ ）.A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件15. C 解析 由题意得，.由，故是必要不充分条件.故选C.16.（20xx江苏8）已知是等差数列，是其前项和若，则的值是 16. 解析 设公差为，则由题意可得，解得，则17.（20xx北京理12）已知为等差数列，为其前项和，若，则_.17. 解析 设等
5、差数列的公差为d，由题设得，解得，所以.18.(20xx北京理10)若等差数列和等比数列满足，则_.18.解析 由，则，由，则，则.故.19.（20xx全国1理4）记为等差数列的前项和若，则的公差为（ ）.A1 B2 C4 D819.解析 ，联立，得，即，所以.故选C.20.（20xx全国2理3）我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）.A1盏 B3盏 C5盏 D9盏20.解析 设顶层灯数为，解得故选B.21.（20xx全国3理14）
6、设等比数列满足， ，则 _21.解析 因为为等比数列，设公比为由题意得，即显然，得，即，代入式可得，所以题型68 等差、等比数列求和问题的拓展22（20xx江西理17）正项数列的前项和满足： (1) 求数列的通项公式； (2) 令，数列的前项和为证明：对于任意的，都有23. （20xx江苏19）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和.记，其中为实数.（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：.24.（20xx全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的
7、答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推.求满足如下条件的最小整数且该数列的前项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）.A. B. C. D.24.解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推设第组的项数为，则组的项数和为，由题意得，.令，得且，即出现在第13组之后，第组的和为，组总共的和为，若要使前项和为2的整数幂，则项的和应与互为相反数，即，得的最小值为，则.故选A.25.(20xx山东理19）已知是各项均为正数的等比数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）如图所
8、示，在平面直角坐标系中，依次联结点，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积.25.解析 （1）设数列的公比为，由已知.由题意得，所以，因为，所以，因此数列的通项公式为（2）过向轴作垂线，垂足分别为，由（1）得记梯形的面积为.由题意，所以 又 ，得 所以26.（20xx 大纲理 10）等比数列中，则数列的前项和等于（ ）.A B C D题型69 等差、等比数列的性质及其应用26.（20xx广东12）在等差数列中，已知，则 27. （20xx江苏14）在正项等比数列中，则满足 的最大正整数的值为 .28. （20xx浙江18）在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列.（1）求；（2）若，求
9、29.（20xx 天津理 11）设是首项为，公差为的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为_.30.（20xx 江苏理 20）设数列的前项和为若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”（1）若数列的前项和 ，证明：是“数列”；（2）设是等差数列，其首项，公差若 是“数列”，求的值；（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立31.（20xx 天津理 19）已知和均为给定的大于的自然数.设集合，集合.（1）当，时，用列举法表示集合；（2）设，其中，.证明：若，则.32.（20xx 北京理 12）若等差数列满足，则当_时，的前项和最大.33.（20xx安徽理14）已知
10、数列是递增的等比数列，则数列的前项和等于 .34.解析 设等比数列的公比为，则，解得或（舍去），所以35.（20xx北京理6）设是等差数列，下列结论中正确的是（ ）.A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则36.解析 依题意，是等差数列，若，并不能推出；故选项A不正确.对于B选项，若，并不能推出；故选项B不正确.对于C选项，若，则，因此，故选项C正确.对于D选项，若，则，并不能推出.故选C.37.（20xx福建理8）若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则（ ）.A6 B7 C8 D937.解析 由韦达定理得，则，当，适当排序后成等比数列时，必为
11、等比中项，故，此时当适当排序后成等差数列时，必不是等差中项，当是等差中项时，解得，；当是等差中项时，解得，综上所述，所以故选D38.（20xx广东理10）在等差数列中，若，则 38.解析 因为是等差数列，所以，即，所以故应填1039.（20xx全国理4）等比数列满足，则（ ）A. B. C. D. 39.解析 由题意可设等比数列的公比为，则由得，.又因为，所以.解得或（舍去），所以.故选B.40.（20xx全国乙理15）设等比数列满足，则的最大值为 .40. 解析 由，得.又，得.故.解法一：由，得，得，且.故当或时，取得最大值，即.解法二：.故当或时，取得最大值.41.（20xx全国甲理17）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如，（1）求，；（2）求数列的前项和42.解析 （1）设的公差为，所以，所以，所以所以，（2）当时，；当时，；当时，；当时，所以43.（20xx江苏09）等比数列的各项均为实数，
