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1、第一章极限与连续第一节函数函数是微积分研究的对象，中学数学应用“集合”与“对应”已经给出了函数概念，并在此基础上讨论了函数的一些简单性质 . 在这里除对中学数学的函数及其性质重点复习外，根据需要将对函数作进一步讨论 .一、函数的概念在日常生活、 生产活动、 经济活动中， 经常遇到各种不同的量. 这些量可分为两类. 一类是常量，一类是变量. 而在某个变化过程中往往会出现多个变量，这些变量之间不是彼此孤立的，而是相互联系和制约的，一个量的变化会引起另一个量的变化，如：球的半径r 与该球的体积V的关系可用式子V4r3r 在0, )内任取一个值时， 体积V有3 给出，当半径确定的值与之对应，我们称体积
2、V 是半径 r 的函数 .1. 函数的概念定义 1设有两个变量x 、 y ，如果变量 x 在一个非空数集D 内每取一个数值时，变量y 按照某个对应法则f都有唯一一个确定的数值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记作yf (x) . 其中x 称为自变量，y 称为因变量或函数，f是函数符号， 表示y 与x 的对应规则，有时函数符号也可用其他字母表示，如yg (x)，y(x)等. 数集D 称为函数的定义域.当自变量x 在其定义域内取定某确定值x0 时，因变量y 按照所给函数关系yf (x) 求出的对应值y0 称为当xx0 时的函数值，记作y |x x0或 f ( x0). 函数值的集合称为函数的
3、值域.例 1已知 f ( x)3x22x 1，求 f (0) ， f ( 1 ) ， f (x) ， f (a 1) .2解： f (0)3022011f ( 1 ) 3 ( 1 )22(1)132224f ( x) 3 ( x)22( x) 1 3x22 x 1f (a 1) 3 (a 1)22 ( a 1) 1 3a24a 2例 2 求下列函数的定义域（ 1） f (x) 5x23x1（2） f ( x)x2x32x（ 3） f (x)4x2（ 4） f (x)ln(2 x1)（ 5） y arcsin(4 x1)（ 6） y9x21x 2解：(1) 函数的定义域为 ( ,)(2)要使函数
4、有意义，须满足x22x30 . 即： x1 且 x 3，即 定义域 为( ,1)( 1,3) (3,)(3)要使函数有意义，须满足4x2 0，解得 2 x 2，即定义域为 2,2(4)要使函数有意义， 须满足2x10，解得 x1，即定义域为 ( 1 ,)22(5)要使函数有意义， 须满足 1 4x1 1，解得1 x 0，即定义域为 1 ,022(6)要使函数有意义，须满足9x2 0 且 x20，解得 3 x 3且 x 2，即定义域为 3,2) (2,3需要注意的是， 在实际应用问题中，除了要根据解析式本身来确定自变量的取值范围以外，还要考虑变量的实际意义. 如半径为r的球的体积4r3V3 这个
5、函数，从函数本身来说，r 可取任意实数， 从它的实际意义来说， 半径 r 不能取负数， 因此它的定义域是区间0,) .2. 函数的两个要素函数的定义反映了自变量x 与因变量 y 之间的依赖关系. 它涉及到定义域，对应法则和值域 . 显然，只要定义域和对应法则确定， 则值域也就确定了 . 因此，函数的定义域和对应法则是确定函数的两个要素 . 两个函数， 只要它们的定义域和对应法则相同， 就是相同的函数.例3判定下列各对函数是否相同（ 1）ylg x2与 y2lg x（ 2）yx | x |与yx2（ 3）wu与yx解：（ 1）ylg x2 的定义域是(,0)(0,) ，y2lg x 的定义域是
6、(0,) ，它们的定义域不同，所以这两个函数不是相同的函数.（ 2）这两个函数的定义域都是(,) ，但是它们的对应法则不同，所以它们不是相同的函数 .（ 3）这两个函数的定义域和对应法则均相同，所以它们是相同的函数.3. 函数的表示法常见的函数表示法有三种：解析法、表格法和图像法. 现举例如下：（ 1） y1x这是用解析法表示的函数，它的定义域(,1.（ 2）我国近几年出口额（单位：亿元）如表1.1 所示：表 1.1年份 x198519901995199820002002出口额 y2746211488183724923256这是用表格法表示的函数，定义域1985， 1990， 1995， 19
7、98， 2000， 2002 .（ 3）小红以200 米 / 分的速度起跑后，先匀加速跑5 分，每分提高速度20 米 / 分，又匀速跑 10 分，这段时间内她跑步的速度y （单位：米 / 分）与跑步时间x （单位：分）变化的函数关系如图 1-1所示 .y300200100O51015x图 1-14. 分段函数上例中， y 与 x 之间的函数关系可由解析式表示为：20x200(0x5)y(5x15)300像这样，由两个或两个以上的式子表示的一个函数叫分段函数.需要注意的是： 分段函数是用几个解析式合起来表示的一个函数，而不是几个函数； 画它的图像时，要在同一个坐标系内分段来画；它的定义域是各段自
8、变量x 取值范围的并集；求函数值时要根据自变量的不同的取值范围，选用不同的对应规则进行计算 .x210x1例 4设函数 f ( x) 1x1，求 f ( 1) ， f (1)， f (11) ，及函数的定义域，1x1x222并画出函数的图像.11)21111解： f ( ) (21 1 ， f (1)1， f (1 )1 122422定义域为 0,2，其图像如图1-2 所示 .y21O12x- 1图 1-2二、函数的性质1. 有界性设函数 f ( x) 在集合 D 上有定义，如果存在一个正数M ，对于所有的x D ，恒有| f (x) |M ，则称 f (x) 在 D 上有界 . 否则称 f
9、(x) 在 D 上无界 .函数 f ( x) 在区间 a,b 上有界的几何意义是：函数f ( x) 在区间 a,b 上的图像位于二直线 yM 与 yM 之间 . 如图 1-3.yMaObx- M图 1-3如 ysin x ， ycosx 在 ( ,) 上有界，因为1| sin x | 1， | cos x | 1，而 yx在 (0, 2) 内无界 .2. 单调性设函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内有定义，若对任意的x1 ， x2(a, b) ，当 x1 x2 时，有f ( x1 ) f (x2 ) ，则称 f ( x) 在 ( a,b) 内单调增加， 如果对任意的x1 ， x2 (a,b) ，当 x1 x2时，有 f ( x1 )f ( x2 ) ，则称 f (x) 在 (a, b) 内单调减少 .如： ya x ，当 a 1 时，在 R 内单调增加；当 0a 1时，在 R 内单调减少 .3. 奇偶性设函数 f( x) 在集合 D 上有定义，若对于任意的 xD ，恒有 f (x)f (x) ，则称 f (x)为偶函数；若f ( x)f (x) ，则称 f ( x) 为奇函数 .如： ysin x 在 R 内为奇函数， y cosx 在 R 内为偶函数，yx2sin x 既不是奇函数，也不是偶函数 .4. 周期性
