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1、#中考数学专题3动态几何问题第一部分真题精讲【例1】如图，在梯形 ABC D中，AD II BC , AD =3 , D C =5 , BC =10，梯形的高为4 .动点M从B点出发 沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点 C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的 速度向终点D运动.设运动的时间为t (秒).#(1) 当MN II AB时，求t的值；(2) 试探究：t为何值时， MNC为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从 下手。但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条
2、件之间的关系求解。 对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M N是在动，意味着 BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定 MN/AB时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。【解析】解：(1 )由题意知，当 M、N运动到t秒时，如图，过 D作DE / AB交BC于E点，则四边形 ABED是平行 四边形./ AB / DE , AB / M N . DE / MN .(根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法，成功将成平行时候的静态问题)MN
3、放在三角形内，将动态问题转化MC NCEC CD(这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键) 10 _2t.解得 t =50 .10 -3517【思路分析2】第二问失分也是最严重的，很多同学看到等腰三角形，理所当然以为是MN=N唧可，于是就漏掉了 MN=MC,MC=CIN两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形，一定不要忘记分类讨论的思想， 两腰一底一个都不能少。具体分类以后，就成为了较为简单的解三角形问题，于是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论：当MN二NC时，如图作NF _BC交BC于F，则有MC =2FC 即.(利用等腰三角形底边高也是底边中线 的性质)/ DF 4-s
4、in _C = CD 5/3cos C =_ ,3t-10 _2t =25解得t員8 当M N =M C时，如图，过 M作MH_CD于H. 贝V C N =2C H ,3#t =2 10 -2tt6017当M C =C N时， 则 10 _2t =t .10#t3综上所述，当t二25、60或10时， MNC为等腰三角形.8173【例2】在厶ABC中，/ ACB=45o点D (与点B、C不重合)为射线 BC上一动点，连接 AD,以AD为一边且在 AD 的右侧作正方形 ADEF(1) 如果AB=AC如图，且点 D在线段BC上运动.试判断线段 CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论.(2) 如果A
5、B AC如图，且点 D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立，为什么？(3) 若正方形 ADEF的边DE所在直线与线段 CF所在直线相交于点 P,设AC= 2 , BC =3 , CD=x，求线段CP的长.(用含x的式子表示)【思路分析1】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个“静止点” 所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。【解析】：(1)结论：CF与BD位置关系是垂直；证明如下：AB=AC，/ ACB=45o,./ ABC=45o 由正方形
6、 ADEF得 AD=AF， DAF=Z BAC =90o / DAB玄 FAC 二 DABA FAC ,/-Z ACF=/ ABD/ BCF=/ ACB+Z ACF= 90o.即 CF 丄 BD【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找 AC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。(2) CF丄BD中结论成立.理由是：过点 A作AGLAC交BC于点G, AC=AG 可证： GADA CAFACF=Z AGD=45o/ BCF=/ ACB+Z ACF= 90o.即 CFL BD【思路分析3】这一问有点棘手,D在B
7、C之间运动和它在CP.段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出(3)过点 A作AQLBC交CB的延长线于点 Q点D在线段BC上运动时，/ BCA=45o 可求出AQ= CQ=4DQ=4-x ，易证 AQDA DCP CP CD .CPx ，DQ AQ4 _x 42xC Px .4点D在线段BC延长线上运动时，/ BCA=45o 可求出AQ= CQ=4DQ=4+x .过A作AG _ AC交CB延长线于点G,9 . ：AGD 三.：ACF” AQDA DCP CP CD ?CPx ，DQ AQ4亠x 4x2CPx .4.CF 丄 BD,【例3】已
8、知如图，在梯形 ABCD中, 角形.AD II BC , AD = 2, BC = 4,点 M 是 AD 的中点, M BC是等边三(1) 求证：梯形 ABCD是等腰梯形；(2) 动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且Z MPQ =60保持不变.设PC =x, MQ = y，求y与x的函数关系式；(3)在(2)中，当y取最小值时，判断P【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯 静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1 一样是双动点问题，所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定/MPQ=60，这
9、个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来因为最终求两条线段的关系，所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例 关系怎么证相似三角形呢？当然是利用角度咯于是就有了思路【解析】（1）证明：T MBC是等边三角形 MB = MC , / M BC MCB =60I M是AD中点 AM =M D/ AD II BC / AM B =/ M BC =60 ,/ DM C 二/ M CB =60 AM B D M C AB = D C梯形ABCD是等腰梯形.（2）解：在等边 MBC 中，MB=MC =BC =4，/ M BC = / MCB=60 ,/ MPQ =60/ BMP
10、 Z BPM二/ BPM Z QPC20（这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩） Z BMP =Z QPC BMP s CQP.PC CQ BM - BPT PC 二 x, MQ 二 y BP 二 4 - x, QC 二 4 - y.X 4 -y .12.y x - x 44 4x4（设元以后得出比例关系，轻松化成二次函数的样子）【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当X取对称轴的值时 Y有最小值。接下来就变成了 “给定 PC=2求厶PQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点，于是问题轻松求解。（3）解： PQC为直角三角形
11、1 2/ yx -234当y取最小值时，x =PC = 2 P 是 BC 的中点，M P _ BC,而 Z MPQ =60 ， Z CPQ =30 ， Z PQC =90以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变 的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢？接下来我们看另外两道题 【例4】已知正方形ABC D中，E为对角线BD上一点，过E点作EF _ BD交BC于F，连接DF，G为DF中 点，连接EG , CG .(1 )直接写出线
12、段EG与CG的数量关系；(2) 将图1中.-BEF绕B点逆时针旋转45 ，如图2所示，取DF中点G，连接EG , CG ,.你在(1 )中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明.(3) 将图1中,-.：BEF绕B点旋转任意角度，如图 3所示，再连接相应的线段，问(1)中的结论是否仍然成立？(不要求证明)DCC【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45 之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是G是中点，中点往往意味着一大票的
13、全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后，抛开其他条件，单看 G点所在的四边形ADFE我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过 G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。(1 ) CG =EG(2) ( 1)中结论没有发生变化，即CG =EG .证明：连接AG，过G点作MN _AD于M，与EF的延长线交于N点.在厶DAG与,:D C G中，/ AD =CD，/ADG =. CDG , DG = DG ，.DAG 三.:D C G .AG =CG .在.-DM G 与：FN G 中，I EDGM 二.FGN , F
14、G 二 DG，/MDG 二.NFG ，.-DM G 三.：FN G .M G =N G在矩形 AEN M 中，AM =EN在 Rt CAM G 与 Rt AEN G 中， / AM =EN , MG =NG ，. :AM G 三.EN G .AG 二 EG .EG =CGDC【思路分析2】第三问纯粹送分，不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因，如果 BEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？如果题目要求证明，应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下，笔者在这里提供一个思路供参考：在BEF的旋转过程中，始终不变的依然是 G点是FD的中点。可以延长一倍 EG到H从而构造一个和 EFG全等的三角形，利用 BE=EF这一条件将全等过渡。 要想办法证明三角形 ECH是 一个等腰直角三角形， 就需要证明三角形 EBC和三角形 CGH全等，利用角度变换关系就可以得证了。（3）（ 1）中的结论仍然成立.C#【例5】已知正方形 ABCD勺边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点
