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1、. .函数单调性的判定方法1.判断具体函数单调性的方法 对于给出具体解析式的函数，由函数单调性的定义出发，本文列举的判断函数单调性的方法有如下几种：1.1 定义法首先我们给出单调函数的定义。一般地，设为定义在上的函数。假设对任何、，当时，总有(1)，那么称为上的增函数，特别当成立严格不等时，称为上的严格增函数；(2),那么称为上的减函数，特别当成立严格不等式时，称为上的严格减函数。给出函数单调性的定义，我们就可以利用函数单调性的定义来判定及证明函数的单调性。用单调性的定义判断函数单调性的方法叫定义法。利用定义来证明函数在给定区间上的单调性的一般步骤：1设元，任取,且；2作差；3变形普遍是因式分
2、解和配方；4断号即判断差与0的大小；5定论即指出函数 在给定的区间D上的单调性。例1.用定义证明在上是减函数。证明：设,，且，那么由于，那么，即，所以在上是减函数。例2.用定义证明函数 在上的单调性。证明：设、，且，那么，又所以，当、时，此时函数为减函数；当、时，此时函数为增函数。综上函数在区间内为减函数；在区间内为增函数。此题函数是一种特殊函数对号函数，用定义法证明时通常需要进展因式分解，由于与0的大小关系不是明确的，因此要分段讨论。 用定义法判定函数单调性比拟适用于那种对于定义域内任意两个数当时，容易得出与大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种
3、方法思路比拟清晰，但通常过程比拟繁琐。1.2 函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数当时，在R上是增函数；当时，在R上是减函数。二次函数当时，时单调减,时单调增；当时，时单调增，时单调减。反比例函数且当时,在时单调减，在时单调减；当时,在时单调增，在时单调增。指数函数当时，在R上是增函数；当，时在R上是减函数。对数函数当时，在上是增函数；当时，在上是减函数。对于一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：与+单调性一样。为常数当时，
4、与具有一样的单调性；当时， 与具有相反的单调性。当恒不等于零时，与具有相反的单调性。当、在上都是增减函数时，那么在上是增减函数。当、在上都是增减函数且两者都恒大于0时，在上是增减函数；当、在上都是增减函数且两者都恒小于0时，在上是减增函数。设,为严格增减函数，那么必有反函数，且在其定义域上也是严格增减函数。我们可以借助以上简单函数的单调性来判断函数的单调性，下面我们来看以下几个例子：例3.判断的单调性。解:函数的定义域为，由简单函数的单调性知在此定义域内均为增函数，因为,由性质可得也是增函数；由单调函数的性质知为增函数，再由性质知函数+5在为单调递增函数。例4.设函数，判断在其定义域上的单调性
5、。 解:函数的定义域为.先判断在内的单调性，由题可把转化为，又故由性质可得为减函数；由性质可得为减函数；再由性质可得在内是减函数。同理可判断在内也是减函数。故函数在内是减函数。函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四那么混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四那么混合运算形式就不能采用这种方法。1.3 图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，假设函数的图像在区间上从左往右逐渐上升那么函数在区间上是增函数；假设函数图像在区间上从左往右逐渐下降那么函数在区间
6、上是减函数。、例5.如图1-1是定义在闭区间-5,5上的函数的图像，试判断其单调性。. .word. .解：由图像可知：函数的单调区间有-5,-2，-2,1，1,3，3,5.其中函数在区间-5,-2，1,3上的图像是从左往右逐渐下降的，那么函数在区间-5,-2，1,3为减函数；函数在区间-2,1，3,5上的图像是从往右逐渐上升的，那么函数在区间-2,1，3,5上是增函数。 . .word. .例6.利用函数图像判断函数；在-3,3上的单调性。分析：观察三个函数，易见，作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出和的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出的图像，最后利用图像判断函数的单调性。.
7、.word. .解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数在闭区间-3,3上是单调增函数；在闭区间-3,3上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出在闭区间-3,3上图像，即在闭区间-3,3上是单调增函数。事实上此题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。 用函数图像法判断函数单调性比拟直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用图像法比拟简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对于不易作图的函数就不太适用了。但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方
8、便的。1.4复合函数单调性判断法定理1：假设函数在内单调，在内单调，且集合，1假设是增函数，是增减函数，那么是增减函数。2假设是减函数，是增减函数，那么是减增函数。归纳此定理，可得口诀：同那么增，异那么减同增异减复合函数单调性的四种情形可列表如下：情形函数 单调性第种情形第种情形第种情形第种情形内层函数外层函数复合函数显然对于大于2次的复合函数此法也成立。推论：假设函数是K(K2),)个单调函数复合而成其中有个减函数： ； 。判断复合函数的单调性的一般步骤：合理地分解成两个根本初等函数；分别解出两个根本初等函数的定义域；分别确定单调区间；假设两个根本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或
9、同单调递减，那么为增函数，假设为一增一减，那么为减函数同增异减；求出相应区间的交集，既是复合函数的单调区间。以上步骤可以用八个字简记“一分，“二求，“三定，“四交。利用“八字求法可以解决一些复合函数的单调性问题。下面我们就用“八字求法来判断函数的单调性。例7.求且的单调区间。解：由题可得函数是由外函数和内函数符合而成。由题知函数的定义域是。内函数在内为增函数，在内为减函数。假设，外函数为增函数，由同增异减法那么，故函数在上是增函数；函数在上是减函数。假设，外函数为减函数，由同增异减法那么，故函数在上是减函数；函数在上是增函数。1.5 导数法我们在前面也曾利用函数图像的特点判断函数的增减性，图像
10、上升那么递增，图像下降那么递减用定义法、图像法等这些初等方法来判断函数的单调性，一般比拟繁杂，下面我们将以导数为工具来判断函数的单调性。函数的导数反映了函数增加或减小的快慢，即变化率因此我们可以利用导数判断函数的单调性这种用导数的符号来判断函数单调性的方法叫导数法。在给定区间内只要能求出其导数我们就可以用导数法来判断函数单调性。为此先看如下定理：定理2：设在区间I上可导，那么在I上递增减的充要条件是：.即在区间I上可导，且在I上递增减。导数法判断函数单调性的一般步骤：(1) 首先确定函数的定义域(判断函数的单调性，必须首先考虑其定义域)；(2) 求导数；(3) 在的定义域内与0的大小关系；(4
11、)写出的单调区间下面我们来看下面几个例题：例8.确定函数的单调区间解：的定义域为R，解不等式得所以在(1，)内是增函数；解不等式得所以在(，1)内是减函数。显然这里我们用定义法、函数性质法、图像法、复合函数单调性判断法都能判断其单调性。利用导数研究函数的单调性，一般应先确定函数的定义域，在解题过程中容易忽略函数的定义域，应予以重视再求导数，通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内的符号来确定函数在该区间上的单调性例9.确定函数且的单调区间解：函数的定义域为R，当时，即，故函数在上是增函数；当时，即，故函数在上是减函数。综上可得当时函数在上是增函数。当时函数在上是减函数。例10.同例7解：由题可得函数的定义域是，且假设，那么当时，即，故函数在上是增函数；当时，故函数在上是减函数假设，那么当时，故函数在上是减函数；当时，故函数在上是增函数导数法通过判断函数定义域被导数为零的点和导数不存在的点所划分的各区间内的符号来确定函数在该区间上的单调性导数法判断函数单调性主要适用于函数在其定义域内可导并且容易判断其导函数与零的大小关系时的情况。导数法是解决诸多问题的有力工具，它既给学生提供了一种重要的解题思想，又给学生提供了一种解题方法。2判断抽象函数
