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1、数学(理科)2018.4本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分(选择题，共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)已知集合A0,a,Bx|1x2，且AB，则a可以是(A)1(B)0(C)1(D)2(2)已知向量a(1,2),b(1,0)，则a+2b(A)(1,2)(B)(1,4)(C)(1,2)(D)(1,4)(3)执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)2(B)6(C)8(D)104)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若四边形ABCD及其内
2、部的点组成的集合记为M,且P(x,y)为M中任意一点，则yx的最大值为(A)1(B)2(C) 1(D)25 )已知 a ， b 为正实数，则“ a1 ， b 1”是“ lga lgb 0 ”的 ( )(A) 充分而不必要条件(C) 充分必要条件(B)必要而不充分条件(D) 既不充分也不必要条件6)如图所示，一个棱长为1的正方体在一个水平放置的转盘上转动，用垂直于竖直墙面S，则S的值不可能是(7)下列函数f(x)中，其图象上任意一点(A)1(B)(C)3(D)P(x,y)的坐标都满足条件yx的函数是(A)f(x)x3(B)f(x)、,x(C)f(x)ex1(D)f(x)ln(x1)已知点M在圆C
3、1:(x1)22(y1)1上，点N在圆C2：(x1)2(y1)21上,则下列说法错误的是(A)uuuuuurOMON的取值范围为2.2,0(B)uuuu|OMuurON|的取值范围为0,2.2(C)uuuu|OMuurON|的取值范围为2,22,2.22(D)uuur若OMuuurON,则实数的取值范围为32.2,32、2第二部分(非选择题，共110分)、填空题共6小题,每小题5分,共30分。(10)已知点2(2,0)是双曲线C:将y2a1的一个顶点,则C的离心率为(11)直线x2t(t为参数)与曲线ytx2cosysin(为参数)的公共点个数为(12)在ABC中，若c2,a33,A,则sin
4、C,cos2c6(13)一次数学会议中，有五位教师来自A,B,C三所学校，其中A学校有2位，B学校有2位，C学校有1位。现在五位老师排成一排照相，若要求来自同一学校的老师不相邻，则共有种不同的立队方法.x,xa,(14)已知fx3x3x,xa.若fx有两个零点，则a的取值范围是；当a,2时，则满足fxfx13的x的取值范围是.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)已知f(x)2.3sinxcosx2cos2x1(I)求f()的值；6(n)求f(x)的单调递增区间(16)(本小题13分)流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大
5、或过小时，都有利于一些病毒繁殖和传播.科学测定，当空气月平均相对湿度大于65%或小于40%时，有利于病毒繁殖和传播.下表记录了某年甲、乙两个城市12个月的空气月平均相对湿度。第一季度第一季度第二季度第四季度1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月甲地54%39%46%54%56%67%64%66%78%72%72%59%乙地38%34%31%42%54%66%69%65%62%70%a%b%(I)从上表12个月中，随机取出1个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；(n)从上表第一季度和第二季度的6个月中随机取出2个月，记这2个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度
6、都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为X,求X的分布列；(出)若ab108,设乙地上表12个月的空气月平均相对湿度的中位数为M,求M的最大值和最小值.(只需写出结论)(17)(本小题14分)已知三棱锥P-ABC如图1)的平面展开图(如图2)中，四边形ABC时边长为亚的正方形，AB丽4BCF均为正三角形.在三棱锥P-ABC：(I)证明：平面PAC_平面ABC(n)求二面角A-PCB的余弦值；(m)若点M在PC上，满足CMCP1 21 ,2，点N在BP上，且BM AN ,3 3BN,求的取值范围.BP(18)(本小题13分)已知函数lnxf(x)xa(I)当 a0时，求函数f (x)的单调递增区间;
7、(n)当 a0时，若函数，1，f(x)的最大值为,求a的值.e(19)(本小题14分)41ab0的离心率为，3,且点T2,1在椭圆上.设与b2OT平行的直线l与椭圆C相交于P,Q两点，直线TP,TQ分别与x轴正半轴交于M,N两与八、.(I)求椭圆C的标准方程;(n)判断OMON的值是否为定值，并证明你的结论(20)(本小题13分)设 A (,j )n nai,1a2,1Ma1,2a2,2Ma1,na2 n八2,n是由1, 2, 3 ,M2 一，、，.n组成一个n行n列的an,1an,2an,n数表(每个数恰好出现一次)n,使得含既是第i行中的最大值，也是第j列中的最小值,则称数表A为一个“ N
8、 数表”ai,j为数表A的一个“ N值”对任意Z定的n ,所有“数表”构成的集合记作(I)判断下列数表是否是N数表”.若是，写出它的一个“ N 值”147825;693(n)求证：若数表 A是“ N数表”，则A的“N值”是唯一的;(出)在19中随机选取一个数表A,记A的“N值”为X,求X的数学期望E(X).海淀区高三年级第二学期期中练习数学(理)参考答案与评分标准、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。题号12345678答案CADBADDB、填空题共6小题，每小题5分，共30分。题号91011121314答案1i品2231348(6V3x1注
9、：第12、14题第一空均为3分，第二空均为2分。三、解答题共6小题，共80分。解答题应写出解答步骤。15.(本题满分13分)(I)f()2-3sin_cos_2cos2-166662向1/2/212分22223分(n)f(x)T3sin2xcos2x7分2sin(2x-)因为函数y sin x的单调递增区间为2k-,2k ( k Z ), 10分22令2k-2x-2k(kZ),11分2 62解得k-xk(kZ),12分3 613分故f(x)的单调递增区间为k-,k(kZ)36注：第(I)题先化简f(x),再求f(-),求值部分3分；第(n)题y=sinx的单调6区间及“解得”没写但最后答案正确
10、，则不扣分；最后结果没写成区间扣1分，写开区间不扣分；全部解答过程没有写kZ,扣1分。16.(本题满分13分)(I)设事件A:从上表12个月中，随机取出1个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播.用A表示事件抽取白月份为第i月，则1分A,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8,A9,A10,A11,A12,共12个基本事件，2分A=A,A,A,A,A10,A1,共6个基本事件，3分所以，P(A)4分122(n)在第一季度和第二季度的6个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有2月和6月，故X所有可能的取值为0,1,2.5分P(X115C262C；C：8C
11、；0)Hr-P(X1)T,P(X2)TC6155C615C6(m) M的最大值为58% ,最小值为54%.9分13分随机变量X的分布列为X012281P51515注：第（I）题没列Q和A包含的基本事件，若后面出现9则不扣分，若后面没出现12、则扣2分，结果不化简不扣分；第（H）题X所有可能的取值没列扣1分，概率值错个扣1分，分布列不写扣1分；第（出）题漏写“%不扣分。(I)方法1:设AC的中点为O,连接BO,PO.由题意PAPBPC72，PO1,AOBOCO1因为在PAC中，PAPC,。为AC的中点所以POAC,1分因为在POB中，PO1,OB1,PB&所以POOB2分因为ACIOBO,AC,
12、OB平面ABC3分所以PO平面ABC因为PO平面PAC4分所以平面PAC平面ABC方法2：设AC的中点为O,连接BO,PO.因为在PAC中，PAPC,O为AC的中点所以POAC,1分因为PAPBPC,POPOPO,AOBOCO所以POAPOBPOC所以POAPOBPOC90所以POOB2分因为ACIOBO,AC,OB平面ABC3分所以PO平面ABC因为PO平面PAC4分所以平面PAC平面ABCC_设AC的中点为O,连接PO,因为在PAC中，PAPC,所以POAC设AB的中点Q,连接PQ,OQ及OB.因为在OAB中，OAOB,Q为AB的中点所以OQAB.因为在PAB中，PAPB,Q为AB的中点所
13、以PQAB .因为PQ IOQ Q, PQ,OQ 平面 OPQ所以AB平面OPQ因为PO平面OPQ所以POAB因为ABIACA, AB,AC平面ABC所以PO平面ABC因为PO平面PAC所以平面PAC 平面ABC法4:设AC的中点为O,连接BO, PO.因为在 PAC中,PA PC,。为AC的中点所以PO AC ,因为在 ABC中,BA BC,。为AC的中点所以BO AC ,因为 POI BO O , PO 平面 PAC , BO 平面 ABC ,所以/ PO时二面角P-AGB的平面角。因为在 POB 中，PO 1, OB 1, PB J2所以PO OB 故二面角P-AC B为直二面角，即平面 PAC 平面ABC。(n)由PO 平面ABC , OB AC ,如图建立空间直角坐标系，则zyO(0,0,0) , C(1,0,0) ,
