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1、2010-2011学年第二学期常微分方程考试AB卷答案理学院年级信息与计算科学专业填空题(每题4分，共20分)1 .形如yP(x)yQ(x)(P(x),Q(x)连续)的方程是一阶线性微分方程，它的通解为yeP(x)dxQ(x)eP(x)dxdxc.2 .形如yy0的方程是3阶齐次(齐次”还是“非齐次2常系数的微分方程它的特征方程为310._dndn1dv3 .形如xnZa1-LLan1x1dyay0的方程为欧拉方程，可通过变换dxdxdx11 ln 1 xxet把它转化成常系数方程.4 .y2dx(x1)dy0,满足初始条件：x=0,y=1的特解ya, y Yo b的解存在且唯一的条5 .5.
2、微分方程dyf(x,y),满足y(%)y0,R:xx0dx件是：f(x,y)在R上连续且满足利普希茨条件卜列微分方程的解(每题5分，共30分)1.dy _1dx (x y)2.3解：令x+Y=U，贝(Jdy=du-1dxdxdu”,-1=-u-arctgu=x+cdxuy-arctg(x+y)=c.532. x4ydx2xdyy3ydx5xdy0解：两边同乘以x2y得:32.一4.一25._3.一4xydx2xydy3xydx5xydy04935故方程的通解为：Xyxyc.523. xydx解：令叱P,则yxp2,dx两边对x求导，得p12P型dxdpP13dx2p解之得x2pInp12c,所
3、以y2pp2Inp12c,.4且y=x+1也是方程的解，但不是奇解.54. x4x0解：特征方程5430有三重根0,42,52.3故通解为xge21c2e21c3t?c4tc5.55. x4x5x2t3解：特征方程34250有根10,21,35齐线性方程的通解为x=gegec3t.3914又因为0是特征根，故可以取特解行如%AtBt?代入原方程解得A=,25B=-.45x= qe c2e qt -t.526. xyyIny0,初值条件:y(1)=e解:原方程可化为电yin yx分离变量可得-y-dx.3两边积分ylnyx可得Inycx.4将初值代入上式求得方程的解：lny2x.5二、求下列方程
4、（组）的通解（每题10分，共30分）1 .求一曲线，使其任一点的切线在OY轴上的截距等于该切线的斜率.解：设p（x,y）为所求曲线上的任一点，则在p点的切线l在Y轴上的截距为：.3dyyx一dx由题意得yx-xdx即曳1y1dxx也即ydxxdydx.5两边同除以x2,得ydx2xdy曲xx即d(y)dlnx.7x即ycxxlnx.10为方程的解。xx2yx(0)32 .y潴足初值条件()y4x3yy(0)3解:V2方程组的特征值15,21,.21应满足U211,得U2.4对应特征值15的特征向量u对任意常数0,u，取2对应特征值1的特征向量v应满足对任意常数0,v，取1,得v.6所以基解矩阵
5、为：(t)5te2e5ttete.815te315t-e32e32e315te315t-e31e31-e32e5t4e5ttete.10.103.求方程dy dx2x一2一.一.,3y通过点（1,0）的第二次近似解.解:令o(x)于是1(x)y。x12x-2130(x)dxxx,.52(x)y0五、应用题x12x13(10分)2,、141(x)dxx15.1033.摩托艇以5米/秒的速度在静水运动,全速时停止了发动机，过了20秒钟后，艇的速度减至V13米/秒。确定发动机停止2分钟后艇的速度。假定水的阻力与艇的运动速度成正比例。解：Fmadvm,XFkv,由止匕kv.5其中k2时，v3。13故得
6、kIn205ln5,、石八，31从而万程可化为v5（-）205.73出当t260120时，有v(20)5(一)200.23328米/秒5.8即为所求的确定发动机停止2分钟后艇的速度。六、证明题（10分）1、试证:非齐次线性微分方程组的叠加原理即:设X(t),X2(t)分别是方程组的解，则Xi(t)X2(t)是方程组的解.证明：xA(t)xfi(t)(1)_，一、XA(t)xf2(t)(2)分别将Xi(t),X2(t)代入(1)和(2)WKA(t)Xifi(t)X2A(t)Xf2(t).5则XiX2A(t)Xi(t)X2(t)fi(t)f2(t)令XXi(t)X2(t)即证xA(t)Xfi(t)
7、f2(t).i020i0-20ii学年第二学期常微分方程考试B卷答案理学院年级信息与计算科学专业一、填空题(每题4分，共20分)i.M(x,y)dxN(x,y)dy0是恰当方程的充要条件是-M-;yx其通解可用曲线积分表示为M(x,y)dxNM(x,y)dxdyc.y3 .形如y4yx2的方程是2_阶非齐次(齐次“还是“非齐次”)常系数的微分方程，它的特征方程的特征根为2,2.4 .若(t),(t)是同一线性方程A(t)X的基解方阵，则它们问有关系dt(t)C(t),C为可逆矩阵.5.5.微分方程dyf(x,y),满足y(x0)y0,R:xX0a,yyb的解存在且唯一的条dx件是：f(x,y)
8、在R上连续且满足利普希茨条件卜列微分方程的解（每题5分，共30分）蜕_ydxxx3.14. y 2y 10y 0则:也udxdux-dx即嗯得到粤udx故uy.4c1一2xx另外y0也是方程的解。.52.dy=ysinxdx无力dx/dx角牛：y=e(sinxedxc).3=e 6t C ,2t2-3. y 3y 2-dt 6 t dtt-1八ex(sinxcosx)+c2.5“1.=ce-(sinxcosx)是原方程的解。2设yt,y3t2-t.36t1.4t23解为C.5解：特征方程22100有复数根113i,213i.3故通解为xcetcos3tc?etsin3t.55.xdyydx0解
9、:原方程可化为dxy0故xyC.56. x6x 8x e2t解：特征方程2680有根1-2,2-4.1故齐线性方程的通解为x=Ge2tc?e4t.3-2是特征方程的根，故%Ate2t代入原方程解得A=1.44故通解为x=c1etc2e5t1e2t.54三、求下列方程（组）的通解（每题10分，共30分）2-x1.y2ayaye解：特征方程22aa20有2重根-a.2当a=-1时，齐线性方程的通解为S=c1etc2tet,1是特征方程的2重根，故xAt、1代入原方程解得A=2通解为S=c1etc2tet-12,.62当a-1时，齐线性方程的通解为S=c1eatc2teat,1不是特征方程的根，故A
10、e，代入原方程解得A=（a1）.10故通解为S=c1eatc2teat+2et(a1)2dx2 dt.dy dt2x y求其基解矩阵.x 2y解:det ( E-A) =0 得 1.3对应于1的特征向量为0)对应于2的特征向量为0).5是对应于1 ,2的两个线性无关的特征向量3.求方程工解:令0（x）1(x)y。2（X）五、应用题e3t(2.3把总y0e 甘eL K是一个基解矩阵（2,3）e 3ty2通过点（1,0）的第二次近似解.于是x11xx11x(10 分).1020(x)dx21 (x)dx1 2x211301,21-x4.51 5-x ,201.求一曲线，过点（1,1），其任一点的切
11、线在OY轴上的截距等于a2.解：设p（x,y）为所求曲线上的任一点，则在p点的切线l在Y轴上的截距为:.3dyyx一dx由题意得yx-dya2dx两边同除以x2,得一吗 y adx.5即dInya2dInx.7即 y cx a2.8将x1,y1代入上式得ca21。.10六、证明题（10分）.1、试证：如果是x=Ax满足初始条件（t0）=的解，那么(t)=expA(t-to).t1证明：由于二0-(to)+(t)(s)f(s)ds.5to又因为(t)=expAt,-1(to)=(expAt0)-1=exp(-Ato),f(s)=O,又因为矩阵(At),(-Ato)=(-Ato)(At).7所以(t)=expA(t-to).10
