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1、word第7章 向量自回归模型VAR与向量误差修正模型VEC7.1 向量自回归模型VAR(p)传统的经济计量学联立方程模型建摸方法, 是以经济理论为根底来描述经济变量之间的结构关系，采用的是结构方法来建立模型，所建立的就是联立方程结构式模型。这种模型其优点是具有明显的经济理论含义。但是，从计量经济学建摸理论而言，也存在许多弊端而受到质疑。一是在模型建立之处，首先需要明确哪些是生变量，哪些是外生变量，尽管可以根据研究问题和目的来确定，但有时也并不容易；二是所设定的模型，每一结构方程都含有生多个生变量，当将某一生变量作为被解释变量出现在方程左边时，右边将会含有多个其余生变量，由于它们与扰动项相关，
2、 从而使模型参数估计变得十分复杂，在未估计前，就需要讨论识别性；三是结构式模型不能很好地反映出变量间的动态联系。为了解决这一问题，经过一些现代计量经济学家门的研究，就给出了一种非结构性建立经济变量之间关系模型的方法，这就是所谓向量自回归模型Vector Autoregression Model。VAR模型最早是1980年，由C.A.Sims引入到计量经济学中，它实质上是多元AR模型在经济计量学中的应用，VAR模型不是以经济理论为根底描述经济变量之间的结构关系来建立模型的，它是以数据统计性质为根底，把某一经济系统中的每一变量作为所有变量的滞后变量的函数来构造模型的。它是一种处理具有相关关系的多变
3、量的分析和预测、随机扰动对系统的动态冲击的最方便的方法。而且在一定条件下，多元MA模型、ARMA模型，也可化为VAR模型来处理，这为研究具有相关关系的多变量的分析和预测带来很大方便。 7.1.1 VAR模型的一般形式1、非限制性VAR模型高斯VAR模型,或简化式非限制性VAR模型设为一维随机时间序列，为滞后阶数，为一维随机扰动的时间序列，且有结构关系 711 假如引入矩阵符号，记可写成 ， 712 进一步，假如引入滞后算子，如此又可表示成 7. 1. 3其中: ,为滞后算子多项式. 如果模型满足的条件:参数阵特征方程 的根全在单位园外；，即 相互独立，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态
4、分布。这时，是维白噪声向量序列，由于没有结构性经济含义，也被称为冲击向量；，即与与各滞后期不相关。如此称上述模型为非限制性VAR模型高斯VAR模型,或简化式非限制性VAR模型。 2、受限制性VAR模型，或简化式受限制性VAR模型 如果将做为一维生的随机时间序列，受维外生的时间序列影响限制，如此VAR模型为， 714或利用滞后算子表示成 7. 1. 5 其中： 此时称该模型为受限制性VAR模型，简化式受限制性VAR模型。对于受限制性VAR模型，可通过对作OLS回归，得到残差估计，从而将变换成15.1.2或15.1.3形式的非限制性VAR模型，即， 716 7. 1. 7这说明受限制性VAR模型可
5、化为非限制性VAR模型。简化式非限制、受限制VAR模型，皆简记为。 3、结构式非限制性VAR模型 如果中的每一分量受其它分量当期影响, 无维外生的时间序列影响限制,如此模型化为， 718或利用滞后算子表示成 7. 1. 9其中： ,这时的此时称该模型为结构式非限制性VAR模型。 如果可逆，既逆阵存在，如此结构式非限制性VAR模型可化为简化式非限制性VAR模型， 7110或利用滞后算子表示成 7. 1. 11 这时，其中的 4、结构式受限制性VAR模型 如果将做为一维生的随机时间序列，其中每一分量受其它分量当期影响,且还受维外生的时间序列影响限制，如此VAR模型为， 7112或利用滞后算子表示成
6、 7. 1. 13此时称该模型为结构式受限制性VAR模型。如果可逆，既逆阵存在，如此结构式受限制性VAR模型可化为简化式受限制性VAR模型， 7114或利用滞后算子表示成 7. 1. 15这时，其中的结构式非限制、受限制VAR模型，皆简记为。 7.1.2 简化式VAR模型的参数估计 VAR模型参数估计, 简化式VAR模型比拟简单可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计法等进展估计,且可获得具有良好统计性质的估计量。结构式VAR模型参数估计比拟复杂，可有两种途径：一种是化成简化式，直接估计简化式模型参数，然后再通过简化式模型参数与结构式模型参数的关系，求得结构式模型参数估计，但
7、这存在一个问题是否可行，什么情况下可行，这与结构式模型的识别性有关。另一种途径是直接对结构式模型参数进展估计，但这也存在一个问题，上述方法不可应用，原因是每一方程含有众多生的与扰动项相关变量，那么，如何估计？这也与结构式模型的识别性有关。对于简化式VAR模型15.1.115.1.3，在冲击向量满足假设，即 相互独立，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。这时，是维白噪声向量序列的条件下，模型参数阵与也可采用Yule-Walker估计、OLS估计、极大似然估计。设,为长度为的样本向量1、Yule-Walker估计在充分大时, 首先估计自协方差阵 (7.1.16)令 ,如此可得模型参数阵
8、的Yule-Walker估计(矩估计)为 7.1.172、估计模型参数阵的OLS估计，即求使下的作为估计。 记 (7.1.18)由此可推得 7.1.19由此可见, 模型参数阵的OLS估计(7.1.15)与Yule-Walker估计(7.1.13)形式一样, 但式中的的计算不同. 但是, 当充分大时,(7.1.16)与(7.1.18)相差很小, 这时(7.1.17)与(7.1.19)相差也很小,这时二者的估计与估计量的性质等价。因此，在充分大时, 可直接采用Yule-Walker估计比拟简单方便。而的估计为 7.1.20其中：3、极大似然估计可证明, 模型参数阵的极大似然估计与OLS估计完全等价
9、。除此之外，还有递推估计法参见：马树才，经济时序分析，大学，1997.1.pp199,这里不在赘述。7.1.3 简化式VAR模型的预测在时，对的一步线性预测 7.1.21 其一步预测误差为 一步预测误差的方差阵为的估计为 7.1.22在时，如果利用模型参数的估计量，对进展一步线性预测，如此的实际一步线性预测为 7.1.23其一步预测误差为 一步预测误差的方差阵为的估计为 7.1.24 7.1.4 VAR模型阶数p确实定VAR模型的定阶是一个矛盾过程，阶数p确实定，既不能太大，又不能太小，必须兼顾。因为，一方面，希望滞后阶数p要大一些，以便使模型能更好地反映出动态特征，但另一方面，又不希望太大，
10、否如此，阶数p太大，会造成需要估计的模型参数过多，而使模型自由度减少。因此，在定阶时需要综合考虑，以既要有足够大的滞后项，又能有足够大的自由度为原如此确定阶数。VAR模型的定阶方法有多种：1、FPE准如此(最小最终预测误差准如此)FPE准如此(最小最终预测误差准如此)，即利用一步预测误差方差进展定阶。因为，如果模型阶数适宜，如此模型对实际数据拟合优度必然会高，其一步预测误差方差也必然会小；反之，如此相反。设给定时间序列向量长度为的样本向量为,，如此其一步预测误差方差阵的估计量为7.1.24式,它是一个阶阵,因此可定义其最终预测误差为 7.1.25显然, 是的函数。所谓最小最终预测误差准如此，就
11、是分别取=1，2,，M, 来计算, 使值所对应的, 为模型适宜阶数。相应的模型参数估计为最优模型参数估计。其中，M为预先选定的阶数上界,一般取之间。 在实际计算过程中，可如下判断：如果的值，随着从1开始逐渐增大就一直上升，如此可判定=1；如果的值，随着从1开始逐渐增大就一直下降，如此可判定该随机时间序列不能用ARp模型来描述；如果的值，在某一值下降很快，而后又缓慢下降，如此可判定该值为所确定的阶数； 如果的值，随着从1开始逐渐增大而上下剧烈跳动，难以找到最小值，这可能由于样本数据长度T太小造成的，应增大样本长度，重新进展定阶、估计模型参数，建立模型。利用FPE信息准如此还可以用来检验模型的建立
12、是否可由局部分量，比如前个分量，来进展，方法如下：记7.1.21式中的阶矩阵的左上角阶子方阵为, 如此前个分量，的最终预测误差为 7.1.26当时，7.1.26为(7.1.25)式。 如果，如此可认为仅用前个分量，建立模型即可，没有必要采用维随机时间序列建立模型，因为从最小最终预测误差准如此角度，用维随机时间序列建立模型比仅采前个分量，建立模型，带来拟合优度的显著改善；反之，如此相反。2、AIC(Akaike Information Criterion)与SCBayes Information Criterion信息准如此AIC、SC信息准如此，也称最小信息准如此，定义， 7.1.27其中：为
13、模型需要估计参数个数，对7.1.1,；对于(7.1.4),；对于7.1.8), ；对于7.1.12，。所谓最小信息准如此，就是分别取=1，2, 来计算AIC或者SC, 使AIC或SC值所对应的, 为模型适宜阶数。相应的模型参数估计为最优模型参数估计。3、似然比检验法Likelihood Ratio,LR检验： 由于，即 相互独立，同服从以为期望向量、为方差协方差阵的维正态分布。因此，记，如此在给的条件下，的条件分布为 于是，在给的条件下，的联合分布密度，即似然函数为对数似然函数为 将参数估计代入，如此有，又 因此，有 7.1.28现在，欲检验假设 样本数据是由滞后阶数为的VAR模型生成；样本数据是由滞后阶数为的VAR模型生成 取似然比统计量为分布 7.1.29在给定的显著性水平下，当，如此拒绝，明确增加滞后阶数，可显著增大似然函数值；否如此，如此相反。检验在小样本下，可取似然比统计量为分布
