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1、-高等数学复习提纲一、 极限一极限七大题型1. 题型一要求: A:到达口算水平；B:过程即“除大。2. 题型二 0 结果：将a带入分子=0=0 “0/0型 用洛比达法则继续计算求值将a带入分母0 直接带入a求出结果就是要求的值3. 题型三进入考场的主要战场注：应首先识别类型是否为为“型！公式：口诀：得1得+得框，框一翻就是。三步曲4. 题型四：等价无穷小替换特别注意：1A:同阶无穷小：；B:等价无穷小：；C:高阶无穷小：.注意：2常用等价替换公式：147*2536特别补充：3等价替换的的性质：1自反性：2对称性：3传递性：4替换原则：A:非0常数乘除可以直接带入计算；B:乘除可换，加减忌换5另
2、外经常使用：进展等价替换题型五有界：识别不存在但有界的函数：5. 题型六：洛必达法则极限题型六，见导数应用：洛必达法则6. 题型七：洛必达法则极限题型七，定积分，见上限变限积分7. 题型三&题型四的综合二极限的应用1、单侧极限1极限存在条件左左右右2极限的连续性3连续点及分类*难点把握两个问题：第一，如何找连续点；第二，连续点分类难。A:连续点：定义域不能取值的点B:连续点分类类可去类类跳跃A,类可去,类不存在，不能分类，求左右极限二、 导数坚守的阵地（一） 导数定义定义一1、“陡、“平的形象表达;2、;3、;4、.拓展：注意：1分段点求导，永远用定义！ 2有连续性条件时可直接带入 定义二（二
3、） 导数常用公式17234586（三） 导数运算1、乘法运算：九字诀号变号则用则层间乘2、除法运算：（四） 复合函数求导核心容*1、 层次分析如右“九字诀,由外向，“遇则则止所谓的“则是、-、2、几点性质：1公式，推广为：2形如： 利用公式等价替换 3奇偶性:（五） 高阶导数1324（六） 微分1、 根本知识 注意求的时候要加“.2、 参数方程求导考试重点参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分标准形式：t为中间变量公式：3、 符号型求导4、 隐函数求导必考题目一般形式是:5、 对数法求导巧用对数的性质，变形式子（七） 导数的应用1、 切线与法线 切线斜率就是在该点的导数值法线斜率切线斜率=-
4、1；2、 洛必达法则极限题型六*注意：1 等价无穷小，乘除可换，加减忌换2 洛必达法则可重复使用条件：1.；2.后有则前有3、 函数的单调性与极值、凹凸性、拐点1“峰极大值；“谷极小值；单调性与极值求解A：单调性：B：单调性交界点极值点判据C:极值点可疑点D:渐近线 2函数凹凸性与拐点 A：B:凹凸性交界点且能取值拐点C：拐点可疑点一般求解步骤：（1） 求定义域、渐近线；（2） 计算；（3） 求的点和使不存在的点，设为；（4） 列表分析；（5） 得出结论.4、 函数最大值、最小值比拟：1； 2端点5、 函数的实际应用步骤：1合理做设，具有唯一性； 2；关键点所在 3令； 4“八字，唯一驻点，即
5、为所求。三、 多元微分学20+（一） 显函数一阶偏导数“求即变：求哪个，哪个就是变量（二） 全微分一元函数： 此时，二元函数： 此时，（三） (高)二阶偏导数主要是求，分别定义为：一定条件下，即连续时：（四） 二元隐函数求导一阶： 二阶直接求 ：（五） 符号型求导必考12. (重点*)会画关系图九字诀先找路路中乘路间加【例题】 求框1框2解：1画关系图12 2“九字诀求解四、 不定积分*（一） 根本知识1. 性质：2. 根本公式*17238456（二） 求不定积分的四大方法1、 方法一（1） 凑常数 公式：（2） 配方 见到一元二次方程敏感的想到配方法（3） 拆分公式：（4） 利用三角函数和差
6、化积和积化和差公式积分2、 方法二固定搭配公式3、 方法三分布积分（1） 一般分布积分公式： 关键：是什么.三角函数高的优先级方向（2） 特殊方程法积分法积分时，对如下积分要特别注意：等等4、 方法四变量替换（1） 一次项替换如:方法：直接令.（2） 二次项替换根据下表进展相应替换：原项替换原理: 根据下面两个三角变换得来的1.2.换元五、 定积分（一） 定积分计算1.N-L公式 牛顿-莱布尼兹公式主要思想是利用积分方法进展积分，然后“出来代值计算 ；2.变换变限 （二） 定积分性质1.1 22.3.更名：4. 拆分：积分性质的运用：（1） 分段函数的定积分（2） 函绝对值积分（3） 三角函数
7、积分实质是判断三角函数符号进展拆分积分运算5.假设则*这一性质十分重要，特别是见到对称限时要想到这一性质。6.变限积分涉及到求极限七大题型的最后一种题型，即题型七1*记住：与没有关系推广：上限带入乘上限求导下限带入乘下限求导(2)洛必达法则 极限题型七7广义积分三种形式：1；2；3.解：定义：原式=A有限 收敛发散（三） 定积分应用一般出现在综合题的最后一题，题型仅有两种：第一，求面积；第二求旋转体体积绕1. 面积1“左右型 *2“上下型 *2. 旋转体体积1“坐在轴上微元法推导：1. 绕轴： 公式1： “墩；2. 绕轴： 公式2： “城墙。2“坐在轴上微元法推导：1. 绕轴： 公式1：“城墙
8、；2. 绕轴： 公式2： “墩。（四） 二重积分1. 累次积分公式：2. 二重积分的计算直角坐标系的几何意义：3. 二重积分改变次序记住一些不能正序积分的函数：思路:原累次积分二重积分新累次积分4. 极坐标主要是圆的思想，注意画图，特别注意上限和下限！Jacobi因子六、 常微分方程ODE（一） 别离变量法1. 标准型注意：化简之即：-C步骤：2. 变化型核心：令（二） 一阶线性ODE重点1.标准型：，关键是找到、；一次无+号2.常数变量法：做题步骤：注意：1） 积分不要加C;2） ，不要“| |符号。（1） 找到、；（2） ，计算，；（3） 带入公式.（三） 三大题型题型1：贝努里方程Ber
9、noulli，即题型2：积分方程 特定条件【例题】解：令，则原式即为：整理之：=题型3：二阶线性ODE（1） 齐次方程特性方程即： 补充：， 为互异实根，（2） 非齐次方程标准型：关键是读参数：求解过程：=1 解出2)读参数.可设特解方程：AB代入3【例题】解：=0，即= 草稿纸上做= 草稿纸上做 将=0，解出系数七、 级数（一） 定义S有限 收敛发散1.2.3.收敛的必要条件N第一局部 判别图发散Y比值判别法1 发散1 发散1 收敛P1 发散莱布尼兹法则1.交织2.3.第二局部 交织级数 （1） 莱布尼兹法则发散收敛2绝对收敛与条件收敛的判别发散绝对收敛条件收敛注：12识别过程：3级数的几点
10、性质第三局部幂级数1.收敛域和收敛半径 级数对称性：1.一收朝里皆收； 2.一发朝外均发。1. 收敛半径：R; 公式：2. 收敛区间收敛域 如将 2.幂级数的展开1公式1：2公式2：；3逐项微分，逐项积分注：不改变收敛区间，改变端点八、 空间解析几何（一） 矢量运算1. 矢量的积12积：(3)2. 矢量的叉积 + - +O123（二） 平面方程1.点法式：例如：2.直线标准型(点斜式)九、 证明题综述18+（一） 介值定理零点定理定理条件：12注意：1.2.1.2.解题要点：A：是什么. B:是什么.3.解答过程要规，工整.（二） 罗尔定理Roller定理条件：123题型解释：1.一般是证明“
11、必有一个正根或负根解题步骤：A:利用介值定理证明根的存在性； B:利用反证法，证明根的唯一性。2.证明*表达式的零点在什么之间 例如：1证明 2证明在f(*)两零点之间存在，使得对于这种题型的解答，注意构造一个适当的函数，这是解决此类问题的关键所在下面是一些常用的构造函数：（1） 求，构造为：（2） 求，构造为：（3） 求，构造为:（4） 求，构造为：（5） 求，构造为：等等（三） 拉格朗日LaGrange中值定理定理条件：12一般出现在填空题：.求拉格朗日定理中的=；（四） 证明不等式 此类证明主要利用函数的单调性一般步骤：令原不等式成立（五） 积分等式证明主要是变换的思想1、 或 . z.
