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1、中国教育学会中学数学教学专业委员会数学周报杯 2018年全国初中数学竞赛试题题号一二三总分1561011121314得分评卷 人复查 人答题时注意：1 .用圆珠笔或钢笔作答；2 .解答书写时不要超过装订线；3 .草稿纸不上交.一、选择题 .A 24 B ) 25 C ) 4+10 D ) 47 122.对于任意实数a, b, c, d ,定义有序实数对(a, b)与(c, d)之 间的运算 为：a, b) c, d) =ac + bd, ad+bc).如果对,那么x, y)为于任意实数u, V,都有u, V)4 y) =.qfRgF4dw27A) 0, 1) B ) 1, 0)C ) -1,
2、0)D )1 , y 0 ,且满足 xy = xy, = x3y ,贝！J x+ y 的值为 y(.A) 1 B ) 2 C )9 .A S1S3 S2S4 B ) SS3=S2s4 C ) SS3AS2s4 .13 23 33993A 4 B ) 5 C )6 D ) 7二、填空题共5小题，每小题7分，共35分)6 .若关于x的方程(x-2)(x2 -4x + m) = 0有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长，则 m的取值范围是7 . 一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2, 2, 3, 3, 4;另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分 别是1, 3,
3、4, 5, 6, 8.同时掷这两枚骰子，则其朝上的面两数字 之和为奇数的概率是.NW2GT2oy018.如图，点A B为直线y = x上的两点，过A, B两点分别作y轴的平行线交双曲线y=10）于C, D两点.若BD=2AC,则 x4OC2OD2 的值为.NW2GT20y019.若y =X+，x-2的最大值为a,最小值为b,则a2+b2的值为 10 .如图，在RtzABC中，余边AB的长为35,正方形CDE的 接于 ABC且其边长为12,则ABC勺周长为.NW2GT20y01三、解答题共4题，每题20分，共80分）11 .已知关于x的一元二次方程x2+cx + a = 0的两个整数根恰好 比方
4、程x2+ax+b =0的两个根都大1,求a+b+c的值.12 .如图，点H为 ABC的垂心，以AB为直径的。Oi和 BCH 的外接圆。O2相交于点D ,延长AD交CH于点P ,求证：点P为CH 的中点.13 .如图，点A为y轴正半轴上一点，A, B 两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线2 2y =&x于p , q两点.31)求证：/ ABP=/ABQ；2)若点A的坐标为AB=2AC.点 P在4ABC内，且PA =石，PB=5, PC =2,求ABC勺面积.中国教育学会中学数学教学专业委员会数学周报杯 2018年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1. A解：因为 a=-1, a + 1=
5、,a2=6-2a,所以3a3 12a2 -6a -12 =3a(6 -2a) 12(6 -2a) -6a -12-6a2 -12a 60=6(62a) -12a +60 = 24.2. B解：依定义的运算法则，有ux vy、vx + uyu,v,u(x- 1) vy = 0, v(x -1) uy = 0对任何实数u, v都成立.由于实数u, v的任意性，得x, y) = s/ ,S2 BFS3所以 SS3S2s4 .5. A解：当k =2, 3, HI , 99时，因为111112k k k2 -1 2 1k -1 k k k 1所以1 二 S 二 1 二；|l| 工：二 1 111 1:二
6、-23 339932 2 99 1004于是有44S2,所以x1 -x2| 0 ,所以.16 -4m 2 ,A=16-4mA0,解之得3 cme 4.7. 19解：在36对可能出现的结果中，有4对：1, 4） , 2,3） , 2, 3） , 4, 1）的和为5,所以朝上的面两数字之和为 5的概率是436.NW2GT20y018 . 6解：如图，设点C的坐标为（a, b），点D的坐标为（c, d）,则点A的坐标为（a, a）,点B的坐标为（c, c）.因为点C, D在双曲线y上，所以ab=1, cd=1 .x由于AC = a-b, BD = c-d, 又因为BD = 2AC ,于是第8题)c-
7、d|=2a-b, c2-2cd+d2 = 4(a2-2ab + b2),所以, 22, 22、 一 _4( ab)-(cd) = 8ab - 2 cd = 6,即 4OC2 -OD2 =6.9 . 32解：由 1-xA0,且 x-1A0,得 1WxW1. 22 2.-x2 3x-12(x-3)2 12.222；416由于渭1,所以当x=4时，y2取到最大值1,故 a = 1.当x = 1或1时，y2取到最小值1,故b=e222所以，a2+b2=3.210. 84D解：如图，设BO a, AO b,则a2+b2 = 352 = 1225.又RtzAF8RtAACIB所以用=即12 =吐12 故
8、CB AC a b第10题)12(a+b)=ab.由得(a +b)2 =a2 +b2 +2ab = 1225 +24(a + b),解得a+ b = 49另一个解25舍去），所以a+b+c=49 + 35=84 .三、解答题11 .解：设方程x2+ax+ b = 0的两个根为a, P ,其中a, P为整数，且a W B ,则方程x2 +cx+a =0的两根为口十1, B十1 ,由题意得口 + P = a,(a +1 % P +1)= a ,两式相加得即所以二212； 1 = 0 ,(二 2)( ； 2) =3 ,二 2 二1,.2=3;或Hl又因为 a = -(口 + P) , b =Bp ,
9、 c= -(口+1)+( B+1),所以a =0, b = -1, c=-2;或者a=8, b =15, c=6,故 a+b+c = -3,或 29.12.证明：如图，延长AP交。O2于点Q,连接 AH, BD, QB, QC, QH .因为AB为。Oi的直径,所以/ ADB =/ BDQ =90 ,故BQ为。O2的直径.第12题)于是 CQ _L BC, BH _L HQ .又因为点H为八ABC的垂心，所以AH 1 BC, BH J_ AC .所以AH / CQ , AC / HQ ,四边形ACQH为平行四边形.所以点P为CH的中点.13.解：1)如图，分别过点P, Q作y轴的垂线，垂足分别
10、为C, D .设点A的坐标为0, t ),则点B的坐标为0, -1).设直线PQ的函数解读式为y = kx +t,并设P, Q 的坐标分别为(Xp, yp) , (Xq, Yq).由y 二 kx t,得于是于是XpXQ = -1 ,即2 2-x -kx -t =0 , 3.2t =xpxQ .3第13题)22 t 2222 z 、BCyPt3xpt3xp-3xpxQ-xp(xp -xQ)_ 8BD= yQt=D 27= 2 22=1二一工3 xQt3 xQ_ 3 xPxQ3 xQ (xQ -Xp)又因为 殷一生，所以史二fCQDXqBD QD因为/ BCP = / BDQ =90: 所以 BCPA BDQ ,故/ ABP = / ABQ .0,由 得xpXQ=_9t=_9 ,Q 22 3, XpXq = _ k .2若XQ4,代入上式得Xp = 73,从
