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1、2021考研根底班高等数学讲义主讲：汪诚义欢送使用新东方在线电子教材第四章常微分方程4.1根本概念和一阶微分方程(甲)内容要点一、根本概念1常微分方程含有自变量、未知函数和未知函数的导数(或微分)的方程称为微分方程假设未知函数是一元函数那么称为常微分方程，而未知函数是多元函数那么称为偏微分方程我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程2微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称
2、为特解4微分方程的初始条件要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解5积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线称为该方程的积分曲线族6线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，那么称这种微分方程为线性微分方程不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为齐次线性方程；自由项不为零的方程为非齐次线性方程二、变量可别离方程及其推广1变量可别离的方程1方程形式：通解注：在微分方程求解中，习惯把不定积分只求出
3、它的一个原函数，而任意常数另外再加2方程形式：通解2.变量可别离方程的推广形式1齐次方程，令，那么2，令，那么三、一阶线性方程及其推广1.一阶齐次线性方程它也是变量可别离方程，通解公式，为任意常数2.一阶非齐次线性方程用常数变昜法可求出通解公式.令代入方程求出，那么得3.伯努利方程令，把原方程化为再按照一阶非齐次线性方程求解.4.方程：可化为以y为自变量，x为未知函数再按照一阶非齐次线性方程求解.四、全微分方程及其推广数学一略五、差分方程数学三略乙典型例题一、变量可别离方程及其推广【例1】 求以下微分方程的通解1解 1 【例2】 求以下微分方程的通解1解 1令，那么，原方程化为注：【例3】求微
4、分方程的通解.解令，原方程化为 化简为 再令，那么方程化为 化简为二、一阶线性方程及其推广【例1】求以下微分方程的通解.12解1直接用常数变量法.对应的齐次线性方程为，通解令非齐次线性方程时，通解为代入方程得，故所述方程的通解为2此题不是一阶线性方程，但把x看作未知函数，y看作自变量，所得微分方程即是一阶线性方程，【例2】设是的一个解，求此微分方程满足特解. 解将代入微分方程求出，方程化为先求出对应齐次线性方程的通解那么非齐次线性方程的通解为再由，得故所求解【例3】 设，其中在内满足以下条件，且，（1） 求所满足的一阶微分方程（2） 求出的表达式解 1由 可知所满足的一阶微分方程为 2 将代入
5、，可知于是 【例4】 求以下微分方程的通解12解 1用除方程的两边，得 令，那么得一阶线性方程 用代入，得2所给方程既属于齐次方程又属于伯努利方程故两种方法以便对照解一 令，那么得，故解二 ，令，得，通解 4.2 特殊的高阶微分方程（甲） 内容要点一、 可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式通解令，那么，原方程 一阶方程，设其解为，即，那么原方程的通解为。令，把看作的函数，那么把的表达式代入原方程，得 一阶方程， 设其解为，即，那么原方程的通解为二、 线性微分方程的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程 二阶非齐次线性
6、方程 1. 假设为二阶齐次线性方程的两个特解，那么它们的线性组合任意常数仍为同方程的解，特别地，当为常数，也即与的线性无关时，那么方程的通解为 2 假设，为二阶非齐次线性方程的两个特解，那么为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3. 假设为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，那么为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4. 假设为二阶非齐次线性方程的一个特解，而为对应的二阶齐次线性方程的通解为独立的任意常数，那么 是此二阶非齐次线性方程的通解。5. 设与分别是与的特解，那么是 的特解。三、二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1. 二阶常系数齐次线性方程 其中为常数特征方程
7、特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1） 当，特征方程有两个不同的实根那么方程的通解为 （2） 当，特征方程有二重根。那么方程的通解为 （3） 当，特征方程有共轭复根，那么方程的通解为 2. 阶常系数齐次线性方程其中为常数相应的特征方程特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（1） 假设特征方程有个不同的实根那么方程通解 （2） 假设为特征方程的重实根那么方程通解中含有 （3） 假设为特征方程的重共轭复根那么方程通解中含有由此可见常数系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐
8、次线性方程的通解。四、二阶常系数非齐次线性方程方程 其中为常数。通解 其中为对应二阶常系数齐次线性方程的通解，上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解如何求？我们根据的形式先确定特解的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解，常见的的形式和相对应地的形式如下：1. ，其中为次多项式1假设不是特征根，那么令，其中为待定系数。2假设是特征方程的单根，那么令3假设是特征方程的重根，那么令2. 其中为次多项式，为实常数1假设不是特征根，那么令2假设是特征方程的单根，那么令3假设是特征方程的重根，那么令3. 或其中为次多项式，皆为实常数1假设不是特征根，那么
9、令其中为待定系数 为待定系数2假设是特征根，那么令五、欧拉方程数学一，其中为常数称为阶欧拉方程。令代入方程，变为是自变量，是未知函数的微分方程一定是常系数齐次线性微分方程注意下面变换公式，（乙） 典型例题一、 可降阶的高阶微分方程【例1】 求以下微分方程的通解1解 1令，那么，原方程化为，属于伯努里方程再令 那么有 通解 【例2】 求以下微分方程的通解1解 1令，那么，原方程化为当时，当时，二、常系数齐次线性微分方程【例】 求以下微分方程的通解1234解 1特征方程 ，即 特征根 微分方程通解 2特征方程 ，即特征根 二重根微分方程通解 3特征方程 特征根 微分方程通解 4特征方程 即 特征根
10、 二重根，微分方程通解 三、二阶常系数非齐次线性微分方程【例1】 求微分方程的通解。解 这是二阶线性常系数非齐次方程，首先求相应的齐次方程的通解可由特征方程的两个实根得齐次线性方程通解为 其次，求非齐次线性方程的一个特解因为 即恰为单特征根，所以特解应设成为了求出，将代入原非齐次方程，整理后得令两端同次幂系数相等：由此解得 ，因此特解为 最后得原方程通解为 【例2】 求方程的通解解 先求相应的齐次线性方程的通解，其特征方程为特征根为，因此齐次线性方程的通解为设非齐次线性方程的特解为，由于题目中不是特征根，因此设，代入原方程可得 解联立方程得，因此 故原方程通解为 【例3】 求微分方程的通解解
11、所给方程的相应齐次线性微分方程为 其特征方程 其特征根为 相应的齐次线性方程的通解为 此例中，意味着，它是特征根，因此特解可取为 将其代入原微分方程，可得 进而有比拟同类项系数可得，从而故 所给微分方程的意解为 【例4】 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程及其通解。解 由线性微分方程的解的结构定理可得，是该方程对应的齐次线性方程的解，由解与的形式，可得齐次线性方程为设该方程为，代入，得所以，该方程为 其通解为 .四、欧拉方程数学一【例1】 求方程的通解解一 方程两边同乘，得是欧拉方程令，那么 代入原方程得属于常系数非齐次线性方程。通解 用代回得 解二 按可降阶类型处理令，那么，原方程变为为一阶线性方程得 这样 解三 将
