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1、育才学校2020学年度第一学期期中考试高二实验班文科数学试题满分:150分,考试时间:120分钟; 命题人:第I卷 选择题 60分一、选择题(12小题,共60分)1.直线的斜率为,其中点,点在直线上,则( )A. B. C. D. 2.设a,b是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下面四个命题中错误的是( )A.若ab,a, ,则 B.若ab,a,b,则C.若a,则 或 D.若 , ,则 3.如上右图是某几何体的三视图,则该几何体的内切球的表面积为( ) A. B. C. D.4.已知是轴上的两点,点的横坐标为,且,若直线的方程为,则直线的方程是( )A. B. C. D. 5.在正方体中,
2、为棱上一动点, 为底面上一动点, 是的中点,若点都运动时,点构成的点集是一个空间几何体,则这个几何体是( )A. 棱柱 B. 棱台 C. 棱锥 D. 球的一部分6.若直线与互相垂直,则实数( )A. B. C. 或 D. 7.如图所示,正四棱锥的底面面积为,体积为, 为侧棱的中点,则与所成的角为( )A. B. C. D. 8.已知正方体的棱长为1,在正方体的侧面上的点到点距离为的点的轨迹形成一条曲线,那么这条曲线的形状是( )A. B. C. D. 9.已知两点, ,若直线上至少存在三个点,使得是直角三角形,则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 10.如图,有一个水平放置的透明无盖
3、的正方体容器,容器高8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为()A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm311.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形,则四棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D. 12.鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,从外表看,六根等长的正四棱分成三组,榫卯起来如图,若正四棱柱的高为,底面正方形的边长为现将该鲁班锁放进一个球形容器内
4、,则该球形容器的表面积的最小值为(容器壁的厚度忽略不计)( ).A. B. C. D. 第II卷 非选择题 90分二、填空题(每小题5分,共20分)13.如图,在边长为4的正方形纸片中, 与相交于点,剪去,将剩余部分沿折叠,使重合,则折叠后以为顶点的四面体的体积为_14.如图,已知正方体的棱长为,点是面的中心,点是面的对角线上一点,且平面,则线段的长为_15.在三棱台中,点、分别是棱、的中点,则在三棱台的各棱所在的直线中,与平面平行的有_16.若圆被直线截得的弦长为,则_三、解答题(70分)17. (10分)已知的三个顶点, , ,求:(1)边上的高所在直线的方程;(2)的垂直平分线所在直线的
5、方程;(3)边的中线的方程.18. (12分)已知圆过两点, ,且圆心在直线上()求圆的标准方程;()直线过点且与圆有两个不同的交点, ,若直线的斜率大于0,求的取值范围;()在()的条件下,是否存在直线使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由19. (12分)如图所示,空间四边形中,分别在上,且满足,过的平面交于,连接.(1)求;(2)求证:三线共点.20. (12分)如图,在正方体中,棱长为,E是棱的中点(1)求三棱锥的体积;(2)在棱上是否存在一点F,使平面?证明你的结论。21. (12分)正方体中,为中点,为中点.(1)求证:平面;(2),求三棱锥的体积.2
6、2. (12分)如图,在直四棱柱中,底面四边形为菱形, , , 是的中点.(1)图1中,点是的中点,求异面直线所成角的余弦值;(2)图2中,点分别是的中点,点在线段上, ,求证:平面AEH平面.高二实验班文科数学试题参考答案与解析1.B【解析】设点,,则,选B.2.D【解析】A:记a,b确定的平面为, ,在平面内, , , ,从而根据线面平行的判定可知A不符合题意;B:等价于两个平面的法向量垂直,根据面面垂直的判定可知B不符合题意;C:根据面面垂直的性质可知C符合题意;D: 或 ,故D符合题意, 故答案为:D3.B【解析】由三视图可知该几何体为正方体中的内接正四面体,正四面体的棱长为 ,设内切
7、球的半径为r,则 易得: 内切球的表面积为 故答案为:B4.B【解析】点的横坐标为,又的斜率互为相反数,的斜率为则直线的方程是,即。故答案选5.A【解析】由题意知,当P在A处,Q在AB上运动时,M的轨迹为过AA的中点,在平面AABB内平行于AB的线段(靠近AA),当P在A处,Q在AD上运动时,M的轨迹为过AA的中点,在平面AADD内平行于AD的线段(靠近AA),当Q在B处,P在AA上运动时,M的轨迹为过AB的中点,在平面AABB内平行于AA的线段(靠近AB),当Q在D处,P在AA上运动时,M的轨迹为过AD的中点,在平面AABB内平行于AA的线段(靠近AD),当P在A处,Q在BC上运动时,M的轨
8、迹为过AB的中点,在平面ABCD内平行于AD的线段(靠近AB),当P在A处,Q在CD上运动时,M的轨迹为过AD的中点,在平面ABCD内平行于AB的线段(靠近AB),同理得到:P在A处,Q在BC上运动;P在A处,Q在CD上运动;P在A处,Q在C处,P在AA上运动;P、Q都在AB,AD,AA上运动的轨迹进一步分析其它情形即可得到M的轨迹为棱柱体故选:A6.A【解析】由题意得 ,当 时直线方程为不成立,舍去,选A.7.C【解析】连接交于点,连接正四棱锥的底面是正方形, 是中点, 是中点, 与所成的角为正四棱锥的底面积为,体积为, , 在中, , ,故选C.8.B【解析】正方体每个面到点距离为的点的轨
9、迹如图:则在正方体的侧面上的点到点距离为的点的轨迹为小圆弧。故选9.B【解析】当, 为直角时, ,且一定存在,故至少存在一个点,使为直角,即直线与圆至少有一个交点,解得,且故选10.A【解析】由题意可得,设球心为O,球与不面切点为B, 球与棱的一个切点为C,点C所在截面圆圆心为P, PB=2,PC=4,OC=R,OP=R-2,由勾股定理得,解得R=5, cm3,选A.11.C【解析】由题意,将四棱锥扩充为正方体,体对角线长为,所以四棱锥外接球的直径为,半径为,所以四棱锥外接球的表面积为,故选C.12.C【解析】有题意可知:该球形容器得半径最小值为,所以表面积最小值为13.【解析】折叠后的四面体
10、如图所示OA,OC,OD两两相互垂直,且OAOCOD2,所以体积VSOCDOA(2)314.【解析】连接, ,点是面的中心, 是的中点,平面,故答案为15.,【解析】点、分别是,的中点,又平面,平面,平面,四边形是平行四边形,又平面,平面,平面故在三棱台各棱所在直线中,与平面平行的有:, 16.【解析】由题意利用弦长公式可得弦心距,再由点到直线的距离公式可得解得,或舍去),故选A17.(1);(2);(3)【解析】(1)由斜率公式易知kAC=-2,直线BD的斜率.又BD直线过点B(-4,0),代入点斜式易得直线BD的方程为:x-2y+4=0(2),又线段BC的中点为,EF所在直线的方程为y-2
11、=-(x+)整理得所求的直线方程为:6x+8y-1=0(3)AB的中点为M(0,-3),kCM=-7直线CM的方程为y-(-3)=-7(x-0)即7x+y+3=0,又因为中线的为线段,故所求的直线方程为:7x+y+3=0(-1x0)18.()(x1)2+y2=25;() ;()x+2y1=0.【解析】(I)MN的垂直平分线方程为:x2y1=0与2xy2=0联立解得圆心坐标为C(1,0)R2=|CM|2=(31)2+(30)2=25圆C的标准方程为:(x1)2+y2=25(II)设直线的方程为:y5=k(x+2)即kxy+2k+5=0,设C到直线l的距离为d,则d=由题意:d5 即:8k215k
12、0k0或k又因为k0k的取值范围是(,+)(III)设符合条件的直线存在,则AB的垂直平分线方程为:y+1=(x3)即:x+ky+k3=0弦的垂直平分线过圆心(1,0)k2=0 即k=2k=2故符合条件的直线存在,l的方程:x+2y1=0.19.(1);(2)证明见解析.【解析】(1),.平面.而平面,且平面平面,.而,.,即.(2)证明:,且,四边形为梯形.令,则,而平面,平面,平面平面,.三线共点.20.(1);(2)详见解析.【解析】(1)(2)存在如图取中点,连,连交于是的中位线因为正方体所以又因为四边形是平行四边形,所以,所以所以四边形是平行四边形,所以,所以平面法二:取中点,则平面平面21.(1)证明过程见解析;(2).【解析】(1)取中点,连接,有,所以是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面,得证.(2)正方体中,,点到面的距离即为,所以三棱锥的体积.22.(1)【解析】(1)因为底面四边形为菱形