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1、河南省博爱英才学校2021届高三数学10月月考试题 理一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。把答案填涂在答题卡上。）1、设集合且,且,则中元素的个数为( )A.B.C.D.2、下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是( )A.B.C.D.3、正项等比数列中,为的前项和,若,则其公比为( )A.B.C.D.4、在中,角,所对的边分别为,且,成等比数列,则 的最小值为( )A.B.C.D.5、数列,的一个通项公式是( )A.B.C.D.6、在中，内角所对的边分别为，若，则的面积为（ ）A.B.C.D.7、已知,若恒成立,则实数的取
2、值范围是( )A.或B.或C.D.8、在中，点为内（包含边界）的点，且满足（其中为正实数），则当最大时，的值是（ ）A.B.C.D.与的大小有关9、已知圆，平面区域，若圆心，且圆与轴相切，则的最大值为（ ）A.B.C.D.10、若数列满足,则称数列为斐波那契数列,要波那契螺旋线是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线,自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案,是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中画一个圆心角为的扇形,连起来的弧线就是要波那契螺旋线,下图所示的7个正方形的边长分别为,在长方形内任取一点,则该点不在任何一个扇形内的概率为( )A.B.C.D.11、
3、在中,角,的对边分别为,若,则的取值范围是( )A.B.C.D.12、已知数列满足,是其前项和,若,且,则的最小值为( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相应题号后的横线上。13、设函数是定义在上的奇函数,若在单调递减,则不等式的解集为_.14、若,则_.15、已知菱形的一条对角线长为,点为上一点且满足,点为的中点,若,则_.16、设，且恒成立，则的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，第18、19、20、21、22题12分，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、已知为等差数列的前项和,.(1)求,;(2)
4、设,求.18、在如图所示的几何体中,四边形是正方形, 平面,分别是线段,的中点,.(1)求证:平面;(2)求到平面的距离.19、设关于的一元二次方程.(1)若是从,五个数中任取的一个数,是从,三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;(2)若是从区间上任取的一个数,是从区间上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.20、中,是上的点,平分,面积是的面积的倍.(1)求.(2)若求和的长.21、已知函数（，）的部分图像如图所示（1）求函数的解析式；（2）若关于的方程（为常数）在区间上恒有实数解，求的取值范围22、已知数列满足,令.(1)求数列的通项公式.(2)证明:.理科数学答案第1题答案D第1
5、题解析且,且,则,共个元素.第2题答案D第2题解析对于A,B,非奇非偶函数;对于C,是奇函数,但在定义域上不是减函数;对于D,在其定义域上既是奇函数又是减函数.第3题答案A第3题解析由得或(舍).故选A.第4题答案D第4题解析,成等比数列,当且仅当时,取等号, 的最小值为.第5题答案C第5题解析数列,的可以看成,即为,故选C.第6题答案C第6题解析由可得；由及余弦定理可得，第7题答案D第7题解析由基本不等式可得,若恒成立,则使恒成立,求得.第8题答案B第8题解析过点分别作的平行线，与的公共点分别是首先，对于固定的，要使得最大，仅需最大，即最大，即平行四边形的面积最大，显然需与共线，此时由基本不
6、等式，知，当且仅当时，取到等号，此时第9题答案C第9题解析作出可行域，如图.由题意知，圆心为，半径，且圆与轴相切，所以.而直线与可行域的交点为，目标函数表示点到原点距离的平方，所以当点与点重合时，取到最大值.第10题答案D第10题解析由题意可得数列的前8项依次为:,所以长方形的面积为个扇形面积之和为,所以所求概率.第11题答案A第11题解析因为,所以,由正弦定理可得,即,所以,因为,所以,所以 ,因为,所以,所以,即,故选A.第12题答案A第12题解析由已知得:,把以上各式相加得:,即,答案为A.第13题答案第13题解析根据题意,函数是定义在上的奇函数,且在上单调递减.又由,则,则在区间上,则
7、在上,.又由为上的奇函数,则在区间上,则在上,.在区间或上,.在或上,或,解得.第14题答案第14题解析根据可得,根据可得,由得,所以第15题答案第15题解析,知,可知,故.第16题答案第16题解析，即恒成立，当且仅当时，等号成立；.第17题答案见解析第17题解析(1)由,和得,.,.(2)当时,当时,.第18题答案见解析第18题解析(1)取中点,连接,分别是中点,为中点,为正方形,四边形为平行四边形,平面,平面,平面.(2)平面,到平面的距离等于到平面的距离,是线段的中点,则到平面的距离等于到平面的距离的.平面,在中,平面, ,平面,则,为直角三角形,设到平面的距离为,则,到平面的距离为,即
8、到平面的距离为.第19题答案见解析第19题解析(1)由题意知本题是一个古典概型,设事件为“方程有实根”,总的基本事件共个:,其中第一个数表示的取值,第二个数表示的取值.事件中包含个基本事件,事件发生的概率为.(2)由题意知本题是一个几何概型,试验的全部结束所构成的区域为,满足条件的构成事件的区域为.所求的概率是.第20题答案(1) (2),.第20题解析(1).因为,.所以由正弦定理可得(2)因为,所以在和中,由余弦定理知.故.由(1)知所以第21题答案（1）；（2）k的取值范围是第21题解析（1）由图，又图像过点，又，.（2）当时，又，即，解得，的取值范围是第22题答案见解析第22题解析(1),时,时,相减整理可得,可得,时,上式也成立,即有,.(2)证明:由,可得,即有.
