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1、高中数学函数单调性的判断方法单调性是函数的重要性质，它在数学中有许多应用，如我们常用求函数单调性的方法求函数的值域。那么，有哪些求函数单调性的方法呢？方法一：定义法对于函数f(x)的定义域I内某个区间A上的任意两个值x,x12(1) 当X1X2时，都有f(X1)f(X2)，则说f(x)在这个区间上是增函数；(2) 若当xx时，都有f(x)f(x)，则说f(x)在这个区间上是减函数。1212例如：根据函数单调性的定义，证明：函数/w=-+1在上是减函数。要证明函数f(x)在定义域内是减函数，设任意x,x,尺且兀0，12212121211221且在x与x中至少有一个不为0,不妨设xH0，那么122
2、x3x2+xx+x2(x+-2)2+x20，所以f(x)f(x)，故f(x)在(S,+S)上2121124212为减函数。方法二：性质法除了用基本初等函数的单调性之外，利用单调性的有关性质也能简化解题.若函数f(x)、g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上有：1.f(x)与。1)当c0具有相同的单调性，当cVO具有相反的单调性；2当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)都是增(减)函数;3.当f(x)、g(x)都是增(减)函数，则f(x)g(x)当两者都恒大于0时也是增(减)函数，当两者都恒小于0时也是减(增)函数；例如，已知f(x)在R上是减函数，那么-5f(x)为函数
3、。这道题很简单，我们根据单调性的性质，很容易就能判断它是增函数。方法三：同增异减法(处理复合函数的单调性问题)对于复合函数y=fg(x)满足“同增异减”法(应注意内层函数的值域)，可令t=g(x)，则三个函数y=f(t)、t=g(x)、y=fg(x)中，若有两个函数单调性相同，则第三个函数为增函数；若有两个函数单调性相反，则第三个函数为减函数.注：(1)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性；(2)互为反函数的两个函数有相同的单调性；(3)如果f(x)在区间D上是增(减)函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增(减)函数。例如，求函数y=log4(X2
4、4x+3)的单调区间。解：设y=logu,u=x24x+3.由4u0,u=x24x+3,解得原复合函数的定义域为xVI或x3.当xW(g,1)时，u=x24x+3为减函数，而y=logu为增函数，所以(一r1)是复4合函数的单调减区间；当xW(3,b)时，u=x24x+3为增函数y=logu为增函数，所以,4(3,+r)是复合函数的单调增区间.方法四：图像法Ix2,2x,1(x0)解:y-x2-2x,1(x0)画出函数的图形，直接根据图像走势，判断函数在某一子区间的单调性。例如，画出函数y-x2,21xI+1图象并写出函数的单调区间。(x1)2,2(x0)(x,1)2,2(x0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增,如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减。例如，求函数f(x)x42x2,3的单调区间。解：函数f(x)的定义域为R,f(x)x44x4(x1)(x,1)x令f(x)0，得-1，x，0或x1.函数f(x)的单调递增区间为(一1,0)和(1,);令f(x),0,得x,-1或0，x，1,函数f(x)的单调递减区间为(-2,-1)和(0,1).
