《高中数学二项式定理题型总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学二项式定理题型总结（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、二项式定理知识点归纳1二项式定理及其特例：（ 1） (a b)nCn0anCn1 anb L Cnr an r brLC nnbn (n N ) ，（ 2） (1 x) n1 Cn1x L Cnr xrL xn2二项展开式的通项公式：Tr 1 C nr a n r br (r0，1，2， n)3常数项、有理项和系数最大的项：r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对4 二项式系数表（杨辉三角）(a b)n 展开式的二项式系数，当 n 依次取1,2,3时，二项式系数表， 表中每行两端都是11以，除外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项
2、式系数的性质：( a b) n 展开式的二项式系数是Cn0，Cn1，Cn2， Cnn Cnr可以看成以 r 为自变量的函数f (r ) ，定义域是 0,1,2, L, n ，例当 n6时，其图象是7 个孤立的点（如图）（ 1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（CnmCnn m ）直线 rn 是图象的对称轴n2n1n1（ 2）增减性与最大值： 当 n 是偶数时，中间一项C n2 取得最大值；当 n 是奇数时，中间两项Cn2， Cn2取得最大值（ 3）各二项式系数和： (1x)n1 Cn1 xLCnr xrLxn ，令 x 1 ，则 2nCn0Cn1Cn2L CnrL Cnn题型讲
3、解例 1 如果在（x +1）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项24 x解：展开式中前三项的系数分别为nn(n 1)nn(n 1)，得 n=8 设第 r +1项为有理项，1，8，由题意得 2=1+228116 3 rrx4T r 1 =C 82r，则 r 是 4 的倍数，所以 r =0，4， 8 ，有理项为 T1=x4，T5= 35x，T9=18256x2点评：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r例 2求式子（ x + 1 2）3 的展开式中的常数项| x |解法一：（ x+1 2） 3=（ x +1 2）（ x+1 2）（ x + 1 2）得到常数
4、项的情况有：三个括号| x | x | x | x |中全取 2，得（ 2）3 ；一个括号取 x，一个括号取1，一个括号取 2，得 C 13 C 12 （ 2）= 12，常数项为（2）| x |3+（ 12）= 20 解法二：（ |x|+ 1 2）3=（| x | 1）6设第 r+1 项为常数项， 则 T r 1 =C 6r （ 1）r（ 1 ）r |x| 6r =| x | x | x |（ 1） 6 C 6r |x| 6 2r，得 62r=0， r =3 T3+1= （ 1） 3 C 63= 20例 344） 4 的展开式中的常数项；求（ 1+x+x2+x3）（ 1x） 7 的展开式中 x
5、4 的系数；求（ x+求（ 1+x） 3+ （1+x）4 + +（ 1+x） 50 的展开式中 x3 的系数x解：原式1x44 1=14 （ x+4=（ 1 x ） 7= （ 1 x4 ）（ 1 x） 6 ，展开式中x4 的系数为（ 1 ） 4C 6 4 ）1xx4=( x 24x4) 4 =( 2 x) 8， 展 开 式 中 的 常 数 项 为 C84 2 4 （ 1 ） 4=1120 方 法 一： 原 式x 4x4(1 x) 3 (1x) 481(1 x) 51(1 x) 3展开式中x3 的系数为 C4方法二：原展开式中x3 的系数为=1=x51(1 x)C 33 +C 34 +C 35
6、+ +C 350 =C 44 +C 34 + +C 350 =C 45 +C 35 + +C 350 = =C 451点评：把所给式子转化为二项展开式形式是解决此类问题的关键19例 4求 x2展开式中 x9 的系数2xrrr3解：Trrx2 9 r1r18 2r1xrCr1x18 3 r 令1213r 9, 则r931C92xC 9 x292183, 故x 的系数为: C922点评： C nr a nr br是 ab n 展开式中的第 r1项， r0,1,2,n 注意二项式系数与某项系数的区别在本题中，13第 4项的二项式系数是C93 ，第 4 项 x9 的系数为 C93，二者并不相同2例 5求3x32100展开所得 x 的多项式中，系数为有理数的项数解： Tr 1C100r3x3 2rC100rx100 r3100rr100r , rZ ，r 为 3 和 2 的倍数，即22 3 依题意：100 r0r100 ， rN ，r0,6,96 ，构成首项为23为 6的倍数，又0，公差为6，末项为96的等差数列，由960( n1)6得 n17 ，故系数为有理数的项共有17 项点评：有理项的求法：解不定方程，注意整除性的解法特征例 6求 x 23x25展开式中 x 的系数x23x55x25解法一：2x 1C50 x5C51x 4L C54 x C55C50 x5
