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1、气体的等温变化、玻意耳定律典型例题【例1】一个气泡从水底升到水面时，它的体积增大为原来的3倍，设水的密度为p=1x103kg/m3,大气压强p=1.01x105Pa,水底与水面0的温度差不计，求水的深度。取g=10m/S2。【分析】气泡在水底时，泡气体的压强等于水面上大气压与水的 静压强之和。气泡升到水面上时，泡气体的压强减小为与大气压相等, 因此其体积增大。由于水底与水面温度相同，泡气体经历的是一个等 温变化过程，故可用玻意耳定律计算。【解答】设气泡在水底时的体积为V1、压强为:P=P + pgh1 0气泡升到水面时的体积为V2,则V2=3V1，压强为p=p。2 0由玻意耳定律pV1=pV2
2、, 即1 2(p + pgh) V1=p 3V10 02X；1.O1X 1051X：1Q3 ：1Q得水深m =.20.2 m【例2】如图1所示，圆柱形气缸活塞的横截面积为S,下表面与水平 面的夹角为a,重量为G。当大气压为p,为了使活塞下方密闭气体0的体积减速为原来的1/2,必须在活塞上放置重量为多少的一个重物(气缸壁与活塞间的摩擦不计)團1【误解】活塞下方气体原来的压强SGeos CLP1=po+G/=P+设所加重物重为G，则活塞下方气体的压强变为G9(G + G()cosCi=Po /气体体积减为原的1/2,则p=2p2 1=G + -【正确解答】据图2,设活塞下方气体原来的压强为p,由活
3、塞的平1衡条件得S(jP175_，cosa =PS+G - Pi=Po+團?同理，加上重物G后，活塞下方的气体压强变为Pi. = Pa+一L气体作等温变化，根据玻意耳定律:piv=P2 * y得 p=2p2 1G =p S+Go【错因分析与解题指导】【误解】从压强角度解题本来也是可以的，但将沽塞产生的压逼鼻成。,亍发生了错误，这个压鱼值应该是G./.S,为避COS免发生以上关于压强计算的错误，相似类型的题目从力的平衡入手解 题比较好。在分析受力时必须注意由气体压强产生的气体压力应该垂 直于接触面，气体压强乘上接触面积即为气体压力，情况就如【正确 解答】所示。【例3】一根两端开口、粗细均匀的细玻
4、璃管，长L=30cm，竖直插入水银槽中深h=10cm处，用手指按住上端，轻轻提出水银槽，并缓缓0倒转，则此时管封闭空气柱多长？已知大气压P=75cmHg。0【分析】插入水银槽中按住上端后，管封闭了一定质量气体，空气柱长L1=L-h=20cm，压强p=p=75cmHg。轻轻提出水银槽直立在空气中0 1 0时，有一部分水银会流出，被封闭的空气柱长度和压强都会发生变化。设管中水银柱长h,被封闭气体柱长为L2=L-h。倒转后，水银柱长度 仍为h不变，被封闭气体柱长度和压强又发生了变化。设被封闭气体 柱长L3。所以，管封闭气体经历了三个状态。由于“轻轻提出”、“缓缓 倒转”，意味着都可认为温度不变，因此
5、可由玻意耳定律列式求解。(a)【凹【解】根据上面的分析，画出示意图(图a、b、c)。气体所经历的三个状态的状态参量如下表所示：、伏态压强(.cinHg )住积C cm3 )(a)P鬥工hL1S=205=V3=L2S= ( 0-h ) S由于整个过程中气体的温度不变，由玻意耳定律:p V=p V=p V11223375x20S= ( 75-h )( 30-h ) S= ( 75+h ) L3S由前两式得：h-105h+750=02取合理解h=7.7cm，代入得75X2015009 =厉可呻=亍讦呦=【说明】必须注意题中隐含的状态(b), 如果遗漏了这一点，将无确 求解。【例4】容器A的容积是10
6、L，用一根带阀门的细管，与容器B相连。 开始时阀门关闭，A充有10atm的空气，B是真空。后打开阀门把A 中空气放一些到B中去，当A压强降到4atm时，把阀门关闭，这时B 压强是3atm。求容器B的容积。假设整个过程中温度不变。【分析】对流入容器B的这部分空气，它后来的状态为压强p，B=3atm, 体积VB(容器B的容积)。为了找出这部分空气的初态，可设想让容器A中的空气作等温膨胀， 它的压强从10atm降为4atm时逸出容器A的空气便是进入B的空气， 于是即可确定初态。【解答】先以容器A中空气为研究对象，它们等温膨胀前后的状态参量为：V=10L, p=10atm；AAV =?, p =4at
7、m。AA由玻意耳定律pV=pV，得A A A A10= -4-XWL = 25L如图1所示。El i再以逸出容器A的这些空气为研究对象，它作等温变化前后的状态为:p =p =4atm， V1=V -V =15L1 AA Ap1=3atm, V =VB1同理由玻意耳定律pV1=pVB，得1 1Pl 4VF =:丄 V】=-15L= 20L B Pi 13-所以容器B的容积是20L。【说明】本题中研究对象的选取至关重要，可以有多种设想。例如， 可先以后来充满容器A的气体为研究对象(见图2)假设它原来在容 器A中占的体积为Vx，这部分气体等温变化前后的状态为：变化前：压强p=10atm、体积Vx，A
8、变化后：压强p =4atm体积Vx=V=10L。AA由 pVx=p VAAx得矶=善 X,10L = 4LPa1由此可见，进入B中的气体原来在A占的体积为VA-Vx=(10-4)L=6L。再以这部分气体为研究对象，它在等温变化前后的状态为： 变化前：压强p=10atm,体积V1=6L,1变化后：压强p =3atm，体积V2=VB.2由玻意耳定律得容器B的容积为:VE =-丄 V = X 6L = 20LPa 3决定气体状态的参量有温度、体积、压强三个物理量，为了研究 这三者之间的联系，可以先保持其中一个量不变，研究另外两个量之 间的关系，然后再综合起来。这是一个重要的研究方法，关于气体性 质的
9、研究也正是按照这个思路进行的。【例5】一容积为32L的氧气瓶充气后压强为1300N/cm2。按规定当使 用到压强降为10ON/cm?时，就要重新充气。某厂每天要用400L氧气 （在 1atm下），一瓶氧气能用多少天（1atm=10N/cm2）?设使用过程 中温度不变。【分析】这里的研究对象是瓶中的氧气。由于它原有的压强（1300N/cm2），使用后的压强（100N/cm2）、工厂应用时的压强（伽/肌） 都不同，为了确定使用的天数，可把瓶中原有氧气和后来的氧气都转 化为1 atm，然后根据每天的耗氧量即可算出天数。【解】作出示意图如图1所示。根据玻意耳定律，由pV1=p 1V 1, pV2=p
10、2V 21 2PlIttI= J22x-52L= 4160L10P2100K/cin2V2=3ELPL = 13OQff/m2Y1-32L團1量m2 氧L 耗osoo 天=lTr 毎po%P2=X 32L = 320L10所以可用天数为:4160 -320【说明】根据上面的解题思路，也可以作其他设想。如使后来留在瓶 中的氧气和工厂每天耗用的氧气都变成1300N/cm2的压强状态下，或 使原来瓶中的氧气和工厂每天耗用的氧气都变成100N/cm2的压强状 态下，统一了压强后，就可由使用前后的体积变化算出使用天数。上面解出的结果，如果先用文字代入并注意到p， =p， =p，即得1 2 0pV1=pV
11、2+npV0这就是说，在等温变化过程中，当把一定质量的气体分成两部分（或 几部分），变化前后PV值之和保持不变（图2）。这个结果，实质上 就是质量守恒在等温过程中的具体体现。在气体的分装和混合等问题 中很有用。【例6】如图所示，容器A的容积为V A=100L，抽气机B的最大容积 为V B=25L。当活塞向上提时，阀门a打开，阀门b关闭；当活塞向下 压时，阀门a关闭，阀Ilb打开。若抽气机每分钟完成4 次抽气动作, 求抽气机工作多长时间，才能使容器A中气体的压强由70cmhg下降 到7.5cmHg （设抽气过程中容器气体的温度不变）？【误解】设容器中气体等温膨胀至体积V2，压强由70cmHg 下
12、降到7.5cmHg，根据共需抽气粽貂（次）所需时间pVA=p V2A270(元1J/X100 _ 12534T= 3.5 (mm)【正确解答】设抽气1次后A中气体压强下降到p,根据1pVA=p (VA+VB)A1第二次抽气后，压强为p,则2P1 =(P2同理，第三次抽气后，Ps =抽气n次后，气体压强Pa代入数据得：n=10 （次）所需对间:t = =-2；5 (min)【错因分析与解题指导】【误解】的原因是不了解抽气机的工作过程, 认为每次抽入抽气机的气体压强均为7.5cmHg。事实上，每次抽气过 程中被抽气体体积都是VB,但压强是逐步减小的，只是最后一次抽气 时，压强才降低至7.5cmHg
13、。因此，必须逐次对抽气过程列出玻意耳 定律公式，再利用数学归纳法进行求解。例 7】有开口向上竖直安放的玻璃管，管中在长h的水银柱下方封 闭着一段长L的空气柱。当玻璃管以加速度a向上作匀加速运动时，空气柱的长度将变为多少？已知当天大气压为p,水银密度为P,重0力加速度为g。【误解】空气柱原来的压强为p=p+h1 0当玻璃管向上作匀加速动时，空气柱的压强为p,对水银柱的加速运2动有p S-p S-mg=ma2 0即 p =p + p(g+a)h2 0考虑空气的状态变化有p LS=p L S1 2L/Thp0 + P fe + a)h【正确解答】空气柱原来的压强为p=p + pgh1 0当玻璃管向上
14、作匀加速运动时，空气柱的压强为p,由水银柱加速度2运动得p S-p S-mg=ma2 0p=p + p( g+a ) h2 0气体作等温变化p LS=p L S1 2& 十 QghPo + P(g + a)h【错因分析与解题指导】本题是动力学和气体状态变化结合的综合题。由于牛顿第二定律公式要求使用国际单位，所以压强的单位是“Pa”。【误解】中p=p+h，由动力学方程解得P=P + p(g+a ) h，在压强1 0 2 0的表示上，h和p(g+a)h显然不一致，前者以cmHg作单位是错误 的。所以在解答此类习题时，要特别注意统一单位，高为h的水银柱 的压强表达为P=pgh是解题中一个要点。例8如图所示，径均匀的U型玻璃管竖直放置，截面积为5cm2，管 右侧上端封闭，左侧上端开口，有用细线栓住的活塞。两管中分别封 入 L=11cm的空气柱A和B,活塞上、下气体压强相等为76cm水银柱 产生的压强，这时两管的水银面的高度差h=6cm，
