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1、备考方向要明了考 什 么怎 么 考1.理解直线的方向向量与平面的法向量2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量措施证明有关直线和平面关系的某些定理（涉及三垂线定理)4.能用向量措施解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题理解向量措施在研究立体几何问题中的应用1高考中很少考察直线的方向向量，而平面法向量则多渗入在解答题中考察2运用向量法证明有关线、面位置关系，在高考有所体现，如陕西T8,可用向量法证明3.高考对空间向量及应用的考察，多以解答题形式考察，并且作为解答题的第二种措施考察,如北京16,天津T7等.归纳知识整合1.两个重要向量()直线
2、的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重叠)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个.(2)平面的法向量直线l平面，取直线l的方向向量,则这个向量叫做平面的法向量.显然一种平面的法向量有无数个,它们是共线向量探究 1.在求平面的法向量时，所列的方程组中有三个变量,但只有两个方程，如何求法向量？提示:给其中一种变量恰当赋值,求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标.2.空间位置关系的向量表达位置关系向量表达直线l1,l2的方向向量分别为1，n2.l1l21nnn2l1l2n1nn120直线l的方向向量为n，平面的法向量为mnmmn0lnmn=m平面、的法向量分别为n，.mn=mnmm
3、=0两条异面直线所成角的求法设两条异面直线，b的方向向量为a，b,其夹角为,则c =|cos|=(其中为异面直线a,b所成的角)4直线和平面所成的角的求法如图所示,设直线的方向向量为e,平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有s =|o |.5.求二面角的大小(1)如图，AB、D是二面角-的两个面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小,(2)如图，n1，n2分别是二面角l-的两个半平面，的法向量,则二面角的大小1，n2(或-n1，n2)探究2.两向量的夹角的范畴是什么？两异面直线所成角呢？直线与平面所成角呢？二面角呢?提示:两向量的夹角范畴是0，；两异面直线所成角的范畴是
4、;直线与平面所成角的范畴是；二面角的范畴是，注意以上各角取值范畴的区别6点到平面的距离的向量求法如图,设B为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点B到平面的距离.自测牛刀小试(教材习题改编）两条不重叠的直线l和l2的方向向量分别为1=(,1，2)，v2=(0,2,1),则1与l2的位置关系是()A平行 .相交C.垂直D.不拟定解析：选C v2=10(-1)21,v2,从而l12.2若直线的方向向量为a(1，0，),平面的法向量为n（-2,，-4)，则( ）A.lBlC.l D.l与斜交解析：选Ba=(1,2)，n=（2,0，-）na,即an.3若平面、的法向量分别为n（2,3，5)，2(-3
5、,1，)，则（ )A B.C.、相交但不垂直 .以上均不对的解析:选Cn1n22（-3)+(3)(-4)0,n与n2不垂直，与相交但不垂直4(教材习题改编)已知两平面的法向量分别为m=（,1,0),n（0,1，1)，则两平面所成的二面角的大小为_解析：cosm，n=，即m，n=45，其补角为5.两平面所成的二面角为4或135答案：45或135.若平面的一种法向量为n(2,1，2),直线的一种方向向量为a(-,1,),则l与所成的角的正弦值为_.解析:设直线与平面所成的角为，则in cosn,a|=.答案:用向量法证明平行、垂直例1 在长方体ABCDA1D1中，AA12AB=B，E、F、E1分别
6、是棱AA1，B1，A1B的中点()求证:E平面C11F；(2)求证：平面C1E平面CEF自主解析 以D为原点,，DC,1所在的直线为x轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设BC=1,则C(,，0),E(1，,),C1(0，1,2),F(1,1,1)，1.(1）设平面C1E1的法向量n(x，y，z）.，(,1)，即取n=（1,1).=(1，-1，1),n=1-2+=0,.又CE平面1E1F，平面C1EF.(2)设平面FC的法向量为m（，b，c），由(0,1,0)，(-,0，)，即取m=(1，0,1).mn=1(-)+011=-10,平面C1F平面CE.保持例题条件不变，求证:CF平面1E证明:由例题可
7、知,E（1,0,1),F(1,1,)，C(,1,0），C1(0,1,2)，=(1,0,)，=（1，1)，(0，1,0）. =+01(-1)=,00110=0.，.CFC1F,CEF1FEF=F，CF平面C1EF.1向量法证明空间平行或垂直的核心点运用向量法证明空间中的平行或垂直的问题时,建系是核心的一步,一般借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标轴，并让尽量多的顶点在坐标轴上.2.向量法证明线面平行的注意点用向量法证线面平行可以证明直线的一种方向向量与平面内的某历来量是共线(平行)向量,也可以证明直线的方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较简朴的解法.1（安徽师大附中模拟)
8、如图,已知A平面AD，D平面ACD,D为等边三角形,AD=DE=2AB,为CD的中点.（1)求证：F平面BC；(2)求证:平面BCE平面CDE.解:设AD=DEAB=,建立如图所示的坐标系Axy，则A(0,0）,(,0)，B(0,0，),D(a,a，0）,E(,，a）.F为D的中点,F.(1）证明:=，=(a，a,）,=(2a,0，-a)，=()，F平面BC,F平面BCE(2）证明:=,（-a，a,)，=(,0，-2)，0,=0,.又CDED,平面CDE,即AF平面DE.又A平面BCE,平面D平面CE.运用空间向量求空间角例2如图,在长方体ABCDA1B1C11中，已知4,AD=3，=2.E、
9、F分别是线段、BC上的点,且BB()求二面角C-D-的正切值;（2)求直线EC1与FD1所成角的余弦值自主解析 ()以为原点,分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则D(0,3,0）、1（,3，2)、E(3,0,0）、F(,0)、C1(，,2）,于是=（3,-3，0),(1，3，2),FD1(4,2,2)设n=(x,2)为平面1DE的法向量，则有x=-1，=(1,-1,2）,向量=(0，0,2）与平面CE垂直，n与AA所成的角为二面角DEC1的平面角或其补角cos=,由图知二面角DEC1的平面角为锐角，tan=.（2)设C1与所成的角为,则cos =求平面的法向量的环节（1）设出法
10、向量的坐标，一般设为n=(x，y,z);()建立方程组,即运用平面的法向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直，建立有关x,y，z的方程组.(3)消元,通过加减消元,用一种未知数表达另两个未知数.(4)赋值拟定平面的一种法向量.2（新课标全国卷)如图所示，直三棱柱ABAB11中，AC=BC=A1，是棱A的中点，DC1BD.(1)证明:DC1BC；(2)求二面角A1DC1的大小解：(1）证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点，故C=C1.又CA1，可得DCD2=CC，因此DCC.而D1BD，DCBD，因此DC1平面D.BC平面BCD,故DC1BC()由(1)知CDC1,且BCC
11、，则BC平面AC,因此C，CB，1两两互相垂直以C为坐标原点,的方向为x轴的正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系-xyz由题意知A(1,0,2),B(0，1,)，D(1,，1）,C1（0,0,2).则=(0,0,1)，(1，1,1),=(1,0,1）.设n(x，y,z)是平面11B的法向量，则即可取n=(1,1,0)同理，设是平面C1BD的法向量,则可取(1，,1).从而cos，m=故二面角A1BC的大小为30.运用向量法求空间距离例在三棱锥S-ABC中,A是边长为4的正三角形，平面C平面ABC，SASC=2,、N分别为A、B的中点,如图所示，求点B到平面CN的距离.自主解答取AC的
12、中点O,连接OS、B.SASC，BBC,AO,ACBO.平面SA平面，平面AC平面ABC=AC,SO平面B，又B平面ABC，SOBO如图所示,建立空间直角坐标系Oxy，则(0,2,0)，C（2,0,0),S(0,0,2)，M（1,，0），N(0，,).=（3，0）,(,0，)，=(-1，,0)设n=(x,y,）为平面CMN的一种法向量,则取z1，则x,y=-,=(，-,1).点B到平面CN的距离d=.求平面外一点P到平面的距离的环节(1)求平面的法向量n；（2)在平面内取一点A，拟定向量的坐标;(3)代入公式d=求解已知正方形ABCD的边长为4,，F分别为A，的中点,C平面ABCD，且C=求点B到平面G的距离.解：如图所示,以C为原点,CB、C、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系-xyz.由题意知B(4，0,0）,E（4，,0）,F(,4，0),G(,0，)，(0,2,0),=(4,，-2),=（-2,，0）设平面GE
