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1、专题 5：椭的对称性一、单选题1 椭圆兰+兰二1的左右焦点为F , F , p为椭圆上第一象限内任9812意一点，F关于p的对称点为M ,关于F的对称点为N，则AMFN 1 2 1的周长为（ ）A8B10C16D 222如图，椭圆C的方程为乂 +兰二1, F , F分别为椭圆的左、右 4312焦点，点p、Q是椭圆上位于x轴上方的两点，且PFIIQF，贝I12門| + qfj的取值范围为（）A.【2,4 ）B. 3,4 ）C1,4）D. （1.5,4）3 椭圆乂 + 21二1的左、右焦点分别为F、F,过F作x轴的垂线43122交椭圆于点P，过P与原点o的直线交椭圆于另一点Q,FPQ 1的周长为（
2、 ）A. 4B. 8C. 4 +J13D. 2 +盯34已知AB分别是椭圆C: + = 1（a b 0）的左 右顶点，M、N a2 b2是椭圆C上两点关于x轴对称，若AM. BN的斜率之积为4，则椭圆 C 的离心率是（ ）A.逻B.亞C.痘D.型33995.已知椭圆+ = 1及以下3个函数：f （x）二x ;f （x）二sinx ;169f （x）二cosx，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个6设椭圆 r:兰 + 兰=1（a b 0），若四点 P（1,1），P2（0,1）， P （-1,込，a2 b21232P（I,逅）中恰有三点在椭圆r上，则
3、不在r上的点为（）4、2APBPCPDP12347设P、Q是椭圆乂 + y2 = 1上相异的两点设A（2,0）、B（0,1）.4命题甲：若|AP| = |AQ|，则P与Q关于x轴对称；命题乙：若|BP| = |BQ|，则p与Q关于y轴对称.关于这两个命题的真假，以下四个论述中，正确的是（ ）A甲和乙都是真命题B甲是真命题，乙是假命题C甲是假命题，乙是真命题D甲和乙都是假命题8 若点A， b是椭圆+ y2 = 1上关于原点对称的两点，F是椭圆4的右焦点，则AABF面积的最大值是（）A. 4B. 2爲C. J2D.39已知椭圆C : + = 1，其左右焦点分别为F、F , P为椭圆4312上一动点
4、，则满足ZFPF为45。的点p有（）12A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个10椭圆的离心率为三,F为椭圆的一焦点，若椭圆上存在一2点与f关于直线y二x + 4对称，则椭圆的方程为（）A. 乂 + 22 = iB. 乂 + 22 = i189918C.兰+兰=i或兰+22 = iD.兰+22 = i或乂+22 = i1899188448二、填空题11-已知椭圆才+y2=1上存在相异两点关于直线y=x+1对称，请写出两个符合条件的实数t的值.12如图，两个椭圆25+ =焙+25 = 1内部重叠区域的边界记为1 2 1 2 曲线C关于直线y = x, y = -x均对称； 曲线C所围成区域面积
5、必小于36.上述判断中所有正确命题的序号为 13-已知椭圆宁+y2=1 p是椭圆的上顶点过点p作直线i，交椭圆于另一点A,设点A关于原点的对称点为B,则仏的最大 值为.14.如图，已知耳，笃分别是椭圆兰+疋=1的左，右焦点，A, B,1 2 4 3C是椭圆上兀轴上方的三点，且4FJ|B0|CF2 (0为坐标原点)则将的取值范围是15.已知椭圆乂 + y2 = 1的左、右焦点为F、F，点F关于直线y = -x a2121的对称点P仍在椭圆上，则APFF的周长为.122 T 2L16椭圆务匕=1 (ab0)的右焦点F (c, 0)关于直线y丄x a b-的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率.三、双空
6、题17.已知椭圆的方程为兰+兰=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B94两点，F是椭圆右焦点，则AABF的周长的最小值为,22AABF 的面积的最大值为2四、解答题18已知椭圆兰+兰=1，试确定的m取值范围，使得对于直线43y二4x + m，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称.19已知椭圆| + y2二1上两个不同的点A、B关于直线（1）若已知c0,2 , m为椭圆上动点，证明：mc三耳0；（2）求实数m的取值范围；3）求 AAOB 面积的最大值（O为坐标原点）.20.已知椭圆C： 乂 + 21 = 1（ a b 0 ）经过点1,3，离心率为1，a 2 b 2I 2 丿2F， F 分别为椭圆的左
7、、右焦点.12（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若点P（x , y ） （ y丰0 ）在椭圆C 上,求证；直线PF与直线PF0 0 0 2 1关于直线1:辛+弟二1对称.43参考答案1C【分析】根据对称关系可知PF为FMN的中位线，再利用椭圆定义可21得 2a = 6,2c = 2，从而可得AMFN的周长.1【解析】因为F关于p的对称点为M，关于F的对称点为N ,12所以PF为FMN的中位线，21所以MF + MN 二 2PF + 2PF 二 2(PF + PF )二 2x2a 二 12,1 1 2 1 2FN 二 2FF 二4c 二 4、98 = 4,1 1 2所以AMFN的周长为12+4
8、=16.1故选:C.【点评】本题考查了点与点的对称性,椭圆的定义,属于基础题.2B【分析】延长射线PF、QF分别与椭圆C相交于M、N两点，由椭圆12的对称性，则PF + |QF| = |PF + |M|，若直线PF1的斜率不存在易得； 若直线PF的斜率存在，设直线PF的方程为y = k(x + l)(k丰0)，与椭圆 11方程联立，利用两点间的距离公式结合韦达定理建立| PFJ + QFJ二3 +3求解.4k 2 + 3【解析】如图，延长射线PF、QF分别与椭圆C相交于M、N两点，12(f少.V由椭圆的对称性可知| = |NF|，|MF|二|QFJ,设点P的坐标为(x, y )，点M的坐标为(
9、x , y ),1 1 2 2则点Q的坐标为(-x ,-y ).22 若直线PF的斜率不存在，则点p、Q的坐标分别为f-1,3、1，31I I 2丿I 2丿 有門+Qf2 =3 若直线PF的斜率存在，设直线PF的方程为y = k(x + 1)(k丰0),II联立方程 b 0)的左 右顶点，a 2 b 2 A (-a,0 ),B (a,0 )又M,N是椭圆上关于x轴对称的两点，设M（xo, ”,则N-yo）,且好 + 畧=1，即 y2 =冬(a2 - x2 ). a2 b20 a20b2故AM,BN的斜率之积为kk = yoy2a2x - aa2 - x2oo(a2 - x2b2a2 - x2a
10、2所以椭圆C离心率是e二ca1 2 x + ao故选：B【点评】本题考查求椭圆的离心率，求解离心率在圆锥曲线的考查中 是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况： 直接求出 a,c 从而求出e ；构造a,c的齐次式，求出e ；采用离心率的定义以及 圆锥曲线的定义来求解； 根据圆锥曲线的统一定义求解5B【分析】对于f（x）= x ；f （x）= sinx都是奇函数，而椭圆图像关于 原点成中心对称，满足要求；对于f（x）= cosx是偶函数，图像 关于J轴对称，若要满足条件，当x 0时函数f （x）= cosx的图像要把 椭圆在y轴右侧部分平分，分析其图像不满足要求，即可得出结论.QQ群 33
11、3528558【解析】f(x)= x为奇函数，作出其图象,由图可知f (x )= x能等分该椭圆面积；四-4同理，f (x)= sin x为奇函数，能等分该椭圆面积;-525f (x)= cosx为偶函数，其图象关于y轴对称，在y轴右侧xe 0,2时，f (x)0，I 2丿xe 2,4时f (x)0，故不能等分该椭圆面积.故选：B【点评】关键点点睛：根据椭圆的对称性，函数图象的对称性，结合数形结合的思想，判定能否平分椭圆的面积，考查了函数的奇偶性， 属于中档题.6A【分析】由pif), p(i,)关于y轴对称，利用椭圆的对称性，椭 圆必经过P , P，得到丄+丄=1,再根据丄+丄丄+丄=i，得
12、到椭3 4a 2 4b2a2 b2 a2 4b2圆不经过p的结论.【解析】因为p(一1,週)，p(1,込 关于y轴对称，3 24 2所以椭圆经过p，p，34所以丄+ = 1，a 2 4b2当p在椭圆上时，右二1，解得 b2 二 1,a2 二 4，椭圆方程为：兰+ y2二1成立.4因为丄+丄丄+丄=1，a 2 b2 a 2 4b2所以椭圆不经过匚，故选： A【点评】本题主要考查椭圆的方程以及几何性质，还考查了运算求解 的能力，属于基础题.7A【分析】设点p (x, y )、Q (x , y )，则x丰x或y丰y，利用两点间的距1 1 2 2 1 2 1 2离公式结合命题中的等式，化简计算可判断出两个命题的真假.【解析】设点P(x ,y )、Q(x ,y )，则二 + y2 = 1，可得x2 = 4-4y2，11224 iii y 2 = 1 -壬(i
