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1、大学-行列式典型例题例1计算元素为aij =| i-j的n阶行列式.解 措施1 由题设知,0，故其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行.第二步用的每列加第列措施2 例 设a, b， 是互异的实数， 证明: 的充要条件是a b +c =0证明： 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为2前的系数 于是 因此 的充要条件是a + b c= 0.例3计算D= 解:措施1 递推法 按第1列展开,有D= D(-1)a= x D 由于=x+a,，于是D= x D+ ax(x+a）+ a=xD+ ax + = xD+ x+ ax+ a=措施 第2列的倍,第3列的x倍，第列的x倍分别加到第1列上 =措施 运用
2、性质,将行列式化为上三角行列式.D x = x( + +a+x)=措施4 + + （-1)（-1)a+(-1）(） a+（1)(）a+(1)( x）x 例. 计算阶行列式： （)解 采用升阶(或加边）法.该行列式的各行具有共同的元素，可在保持原行列式值不变的状况下，增长一行一列,合适选择所增行(或列)的元素,使得下一步化简后浮现大量的零元素. =这个题的特殊情形是=可作为公式记下来.例5.计算阶“三对角”行列式D=解 措施递推法.DDD-D即有递推关系式 D= (3）故 =递推得到 =而，=，代入得 (.)由递推公式得=D +=措施2 把D按第列拆成2个n阶行列式D上式右端第一种行列式等于，而第二个行列式=于是得递推公式,已与（.1）式相似.措施3 在措施1中得递推公式D=DD又由于当时 D=D=-2=于是猜想，下面用数学归纳法证明.当=1时，等式成立，假设当n时成立.当n=+1是，由递推公式得D- =因此对于,等式都成立例6计算阶行列式: 其中.解这道题有多种解法措施1 化为上三角行列式其中，于是.措施 升阶（或加边）法措施3 递推法.将改写为+由于 因此=为递推公式,而,于是=
