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1、排列、组合一解题技巧1相邻问题并组法（相邻元素捆绑法）题目中规定相邻的几个元素并为一个组（当作一个元素）参与排列.【例1A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（）60种B.48种C.36种D.24种【分析把A、B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人全排列，有A：=24种，【练16名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有多少种？【分析将甲、乙两人捆绑在一起视作一人，其余四人全排列共A55种，甲乙两人之间有A；种,由分布可知A；=240种。相离问题插空法（不相邻元素插空法）元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元
2、素全排列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.【例2】七个人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同排法的种数是（）A.1440B.3600C.4820D.4800【分析除甲、乙外，其余5个排列数为A；种，再用甲、乙去插6个空位有A；种，由分布可知A；A；=3600种，故选B。【练2一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场。则节目的出场顺序有多少种？【分析2个相声，3个独唱分6个空，把4个舞蹈放进去是A；,2个相声3个独唱全排列A；,由分布可知A；A；-360种。2. 捆绑插空法【例3某人射击8枪命中了4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形不同
3、种数有多少个？【分析无命中有4枪，分5个空，把命中3枪连在一起的捆绑在一起，插入5个空挡有A：二20,【练3A、B、C、D、E,5人站成一排照相，A、B必须相邻，但A、B都不与C相邻，则不同的站法有多少种?【分析】A、B捆绑在一起有A；种在把D、E位置定下有A；种，D、E分3个空，将A、B、C插2A2八22A2A3入3个空中有A；种，由分布可知共有A：.A：=24种。4定序冋题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序，可用缩小倍数的方法.【例4】A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边（A、B可不相邻），那么不同的排法种数有（A.24B.60种【分析】C.90D.12
4、0种B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,【练4】=60种，故选B。7人排对，其中甲、乙、丙三人顺序一定，有多少种不同的排法?【分析】7人全排列去掉甲、乙、丙三人全排列，即A；/A：=840种。【例5】某天课程表安排语文，数学，英语，历史，地理,政治各一节。要求英语在数学前面,【分析】【练5】数学在语文的前面。先不考虑限制条件，种，而英语，数学,求共有多少种不同的排法?6节课全排列有A：种,语文三节顺序固定，所以由而历史,A：信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有政治，地理三节不固定顺序有A：=：120种。3面红旗，2面白旗，把这As面旗都挂上
5、去可表示不同的信号种数为多少种?【分析】3面红旗2面白旗分别全排列，只能做一次挂法，所以A：/A：二10种。5标号排位问题分步法第二步再排另一个元素,把元素排到指定号码的位置上，可先把某个元素按规定排入,如此继续下去，依次即可完成.【例6】将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（9种C.11种D.23种【分析】先把1填入方格，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3X3X1=9种填法，故选B.【练6】同室4人写一张贺年卡，先集中起来，
6、然后每人从中拿一张别人送来的贺卡，则四张卡不同的分配方式有多少种？【分析】同上，3X3X1=9种6.有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组，可用逐步下量分组法.【例7】有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法总数有（A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种【分析】先从10人中选出2个承担甲项任务，再从剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7人中选1个承担两项任务，不同的选法共有211C10c8c7=2520种，故选C。7.多元问题分类法元素多，取出的情况也有多种，可按结果要求,分成不相容的几类情况分
7、别计算，最后总计.A. 【例8】由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）B.300个D.600个A.210个464个【分析】按题意，个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况，分别有A；个，A4A；A：个,a3a3A3个，A；a3a；个，个，由分类可知共有300个。故选B。【练8】从1,2,3,100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？【分析】被取的两个数中至少有一个能被7整除时，它们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记作A，则A=7,14,98共
8、有14个元素，不能被7整除的数的集合A=1,2，99,100共有86个元素，由此可知，从A中任取两数的取法，共有C：种从A中任取一个数又从A中任取一个数的取法，共有C14C86种，两种情形共得符合要求的取法有C：+C；4C86=1295种。【例9】从1,2,100这100个数中，任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少？【分析】将1=1,2,100分成四个不相交的子集，能被4整除的数集A=4,8,100;被4除余1的数集B=1,5,97;被4除余2的数集为C=2,6,98;被4除余3的数集为D=3,乙，99,易见这四个集合，每一个都含25个元素；从A中任取两个数符合要求；从B、D中
9、各取一个数的取法也符合要求；从C中任取两个数的取法同样符合要求；此外其它取法都不符合要求。由此即可得符合要求的取法共有C25C125C125C22昇325种。交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式n(AUB)=n(A)+n(B)n(AnB)【例10】从6名运动员中选出4个参加4X100m接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同参赛方法？【分析】设全集1=6人中任取4人参赛的排列,A=甲第一棒的排列,B=乙跑第四棒的排列,根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：n4332丨B)=A6_A5_A5+A4=252定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指
10、定位置，可先排这个(几个)元素，再排其他元素.【例11】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念，若老师不在两端，则有不同的排法有种.【分析】老师在中间三个位置上选一个位置，有A3种，然后4名同学在其余4个位置上有A：种，由分布可知共有A3=72种。【练11】7种不同的花种种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆，问有多少种不同的种法？【分析】两种葵花不在中间和两端，那就是在4个花盆里种有A：种，剩下的全排列A55，由分布可知共有A42A55二1440种。多排问题单排法把元素排成几排的问题，可归结为一排考虑，再分段处理.【例12】6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那
11、么不同的排法种数是()A.36B.120C.720D.1440.【分析】前后两排可看成一排的两段，因此本题可视为6个不同元素排成一排，共有A：二720种【练12】8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素要排在后排，有多少种排法？【分析】看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有A：种，某1个元素在后半段四个位置中选一个，有A；种，其余5个元素任意在剩余的5个位置上有A5种，有分布可知故共有A4A：A5=5760种。11.“至少”问题间接法含“至多”，“至少”的排列组合问题，是需要分类的问题。可用间接法，即排除法（总体去杂），但仅适用于反面情况明确且
12、易于计算的情况。【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有（）A.140种B.80种C.70种D.35种【分析】逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同取法共有C93c43C；=70种，故选C。【练13.1】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同工作，若这3人中至少有一名女生,则选派方案有多少种？【分析】从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案有A：一A：二186种。【练13.2】从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张,则所取3张中至少有2张价格相同的取
13、法为（）179323A.-B.C.-D.4120424C1C1C13【分析】可从对立面考虑，即三张价格均不相同，=P=1-.C10412选排问题先取后排法（排列组合混合）从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法.【例14】四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有种？【分析】先去四个球中的二个为一组，另两组各一个球的方法有C：种，然后在排，在四个盒中每次排三个有A；种，有分布可知共有C：人4=144种。【练14】有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球共有多少种不同的装法?【分析】第一步，从5个球中选出二个球装在一个盒内
14、有C52种，第二步，这四个盒子的球全排列有A：种，由分布可知C：A4240种。【例1引9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？【分析】先取男、女运动员各二名，有C；C42种，这四名运动员混双练习有A；种排法，由分布可知共有C5C42A2=120种分组法。【练15】一个班有6名战士，其中正，副班长个一名，现从中选四人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正，副班长有且只有1人参加，则不同的选法有多少种？【分析】从正，副班长选1人有C1种，从剩下4人种选3人有C43种，这四人全排列有A：种，由分布可知共有C2C4=192种。13部分符合条件问题排除法在选
15、取总数中，只有一部分合条件，可从总数中减去不合条件数，即为所求.【例16】以一个正方体顶点为顶点的四面体共有（）A.70个B.64个C.58个D.52个【分析】正方体8个顶点，从中每次去四点，理论上可构成C；个四面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面不能构成四面体，所以四面体实际共有C8412=58个，故选C。【练16】正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有个.【分析】7个点中取三个点的取法有C；种，但有三组三点共线不能构成三角形，故所求三角形有C；3=32个。14.元素相同分配问题隔板法【例17.1】有10个运动员名额，再分给6个班，每个班至少一个人，有多少种分配方案？【分析】6个班分10个名额，用5个隔板将6个班隔开，将10个名额并成一排，名额之间有9个空,将5个隔板插入9个空中，每一种插法对应一种分配方案，共有C9=126种。【练17.1】8个相同的球装进5个盒中，每盒至少装一个，有多少种方法？【分析】5个盒装8个球进，用4个隔板将5个盒子隔开，将8个球并成一排，球之间有7个空，
