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1、第一章 实数集与函数P.4 习题1设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a + x是无理数； （2）当时，ax 是无理数. 证明 （1）（反证）假设a + x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾，故a + x是无理数. （2）假设ax 是有理数，于是是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故ax是无理数. 3设，证明：若对任何正数有，则 a = b . 证明 由题设，对任何正数有，再由教材P.3 例2，可得，于是，从而 a = b . 另证 （反证）假设，由实数的稠密性，存在 r 使得. 这与题设“对任何正数有”矛盾，于是，从而 a
2、 = b . 5证明：对任何有（1）； （2）证明 （1）（2）因为，所以6设证明证明 建立坐标系如图，在三角形OAC中，OA的长度是，OC的长度是，AC的长度为. 因为三角形两边的差小于第三边，所以有7设 ，证明介于1与之间. 证明 因为， 所以介于1与之间. 8设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则是无理数. 证明 （反证）假设为有理数，则存在正整数 m、n使得，其中m、n互素. 于是，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得. 于是，从而 p 是 m 的约数，故m、n有公约数 p. 这与“m、n互素”矛盾. 所以是无理数.P.9 习题2设S为非
3、空数集，试对下列概念给出定义：（1）S无上界；若，使得，则称S无上界.（请与S有上界的定义相比较：若，使得，有，则称S有上界）（2）S无界.若，使得，则称S无界.（请与S有界的定义相比较：若，使得，有，则称S有界）3试证明数集有上界而无下界.证明 ，有，故2是S的一个上界.而对，取，但. 故数集S无下界.4求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）解 ，. 下面依定义加以验证（可类似进行）.，有，即是S的一个上界，是S的一个下界.，若，则，都有；若，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得，即，不是上界，所以.（2）解 S无上界，故无上确界，非正常上确界为.下面证明：. ，有，即 1 是S
4、的一个下界； ，因为 ，即不是S的下界. 所以 .(3)解 仿照教材P.6例2的方法，可以验证：. 解 ，首先验证. ，有，即 1 是S的一个上界； ，取正整数，使得，于是取. 从而，且.所以5设S为非空有下界数集，证明：证明：）设，则对一切，有，而，故是数集S中的最小的数，即.）设，则；下面验证； 对一切，有，即是数集S的下界； 对任何，只须取，则. 所以.6设S为非空数集，定义. 证明： 证 设，下面证明：. 对一切，有. 因为，所以有，于是，即是数集S的上界； 对任何，有. 因为，所以存在，使得. 于是有，使得. 由，可知.7设A、B皆为非空有界数集，定义数集证明：（1）； （2）证明
5、（1）因为A、B皆为非空有界数集，所以和都存在. ，由定义分别存在，使得. 由于，故，即是数集的一个上界. ，（要证不是数集的上界），由上确界的定义，知存在，使得. 于是，再由上确界的定义，知存在，使得. 从而，且. 因此是数集的上确界，即另证 ，由定义分别存在，使得. 由于，故，于是. 由上确界的定义，使得，使得，从而，由教材P.3 例2，可得 由、，可得 类似地可证明：P.15 习题9试作函数的图象解 是以2为周期，定义域为，值域为的分段线性函数，其图象如图. 11试问是初等函数吗？解 因为，可看成是两个初等函数与的复合，所以是初等函数. 12证明关于函数的如下不等式：（1）当时， （2）
6、当时，证明 （1）因为 ，所以当时，有，从而有. （2）当时，在不等式中同时乘以x，可得，从而得到所需要的不等式. P.20 习题1证明是R上的有界函数. 证明 因为对R 中的任何实数x 有 所以 f 在R上有界. 2（1）叙述无界函数的定义；（2）证明为（0，1）上的无界函数；（3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 0，1 上的无界函数. 解 （1）设函数，若对任何，都存在，使得，则称 f 是D 上的无界函数. （2）分析：，要找，使得. 为此只需. 证明 ，取，则，且，所以f 为区间（0，1）上的无界函数. （3）函数 是闭区间 0，1 上的无界函数. 7设、为定义在上的有界函数，满
7、足，证明： ； 证 ，有，即是在上的一个上界，所以. ，有，即是在上的一个下界，所以.8设为定义在上的有界函数，证明： ； 证 ，有，于是，即是在上的一个下界，从而，所以 反之，有，于是，即是在上的一个上界，从而 由，得，.9证明：在上无界，而在内任一闭区间上有界.证 ，取，于是. 则有，所以在上无界.在内任一闭区间上，取，则，必有，所以在上有界.10讨论狄利克雷函数，的有界性，单调性与周期性. 解 函数是有界函数：. 不是单调函数. 是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下：设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则是有理数，于是；若 x 是无理数，则是无理
8、数，于是. 任何无理数都不是的周期. 11证明：在R上严格增.证 设，于是因为，有，所以，从而. 所以有即在R上严格增.P.21 总练习题1设，证明： 证 若，则，这时有；若，则， ，也有，所以2设和都是初等函数，定义，试问和是否为初等函数？解 由第1题有，因为和都是初等函数，于是是初等函数，再由，知是初等函数，所以是初等函数.8设、和为增函数，满足，证明：证 因为、为增函数，再由，得，所以有. 同理可得. 9设、为区间上的增函数，证明，也都是区间上的增函数.证 先证是区间上的增函数.设，于是有，从而，所以是增函数. 其次证明是区间上的增函数设，于是有从而 12设、为上的有界函数，证明： 证
9、由p.17例2 (i)，有 再由p.20习题8，有 结合、可得13设、为上的非负有界函数，证明： 证 ，有，从而. 即是在上的一个下界，所以有15设为定义在R上以h为周期的函数，a为实数. 证明：若f在 a, a+h 上有界，则f在R上有界.证 设f在 a, a+h 上有界，即存在，使得，有. ，必存在整数和实数，使得. 于是，所以f在R上有界.16设在区间上有界. 记，证明证 ，有，. 于是，有，即是数集的一个上界. 下面证明：是数集的最小上界.由上确界，下确界的定义知，使得，从而. 所以是数集的最小上界.所以部分重点高校历年研究生入学考试试题选（供参考）1（北京科技大学，1999年）叙述数
10、集A的上确界的定义，并证明：对任意有界数列，总有证明 定义参考教材.由上确界的定义，有，（）. 于是，即实数是数列的一个上界，所以有2（中国人民大学）设，求的定义域和.解 由解得的定义域为，所以3（华中理工大学）设，试验证，并求（，）.解 由，得.4（同济大学）设，求.解 当时，当时，当时，所以5（西北工业大学）设，求 的定义域 解 ，所以的定义域为. 因为，所以 因为，所以不存在6（清华大学）设函数在上是奇函数，且对任何值均有 试用表示与 问取什么值时，是以2为周期的周期函数.解 因为对任何值均有，令得，所以.， 由知当且仅当，即时，是以2为周期的周期函数.7（合肥工业大学）证明：定义在对称
11、区间内的任何函数，必可表示成偶函数与奇函数之和的形式，且这种表示法是唯一的.证明 令，则，且容易证明是偶函数，是奇函数.下证唯一性. 若还有偶函数与奇函数，满足，则有， 用代入式，得 + 得 ，再代入式得8（内蒙古大学）作函数的图形解 9（上海师范大学）是否存在这样的函数，它在区间上每点都取有限值，但在此区间的任何点的任何邻域内都无界.答 存在，例如10（武汉大学，1994年）设为一个正无穷大数列，E为的一切项组成的数集，试证：必存在自然数，使得证明 因为为一个正无穷大数列，所以存在自然数，使得当时，. 于是，由于为有限集，所以存在，使得.11（天津大学）证明：是满足不等式的一切正有理数的下确界；证 设. 要证是数集A的下确界. ，有，所以，即是数集A的一个下界.，由有理数的稠密性，在上存在无穷多个有理数，于是可取，即且.所以12（华中师范大学）设函数定义在区间I上，如果对于任何，及，恒有，证明：在区间I的任何闭子区间上有界.证 ，要证在有界. ，存在，使，即. 其中，令，则，所以 由、可得，有，所以在有界.1
