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1、课题n阶行列式作者：李朝霞院校：济源职业术学授课方式讲授课时2学时教学目的与要求1. 理解n阶行列式的定义2. 掌握行列式的性质3 .掌握计算行列式的两种基本方法（上三角形法和降阶法）院时间：05年7月讲授重点理解行列式的性质；掌握计算行列式的方法讲授难点运用上三角形法和降阶法进行行列式的计算课题：n阶行列式教学过程：n阶行列式的概念：为了求解n阶线性方程组，需要将二、三阶行列式的概念推广到n阶行列式上去. 已知一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，即aaaii1213aaaaaaaaa=a2223_ a2123+ a212221222311aa12aa13aaaaa32333133313
2、2313233这个式子给出了以二阶行列式来定义三阶行列式的方法：三阶行列式等于它的第一行元素与相应的二 阶行列式乘积的代数和.类似的，可以用三阶行列式定义四阶行列式为aaaa11121314aaaaaaaaaaaaaaaa22232421232421222421222321222324=aaaaaaaa+ aaaaaaaaaaaa1132333412313334133132341431323331323334aaaaaaaaaaaaaaaa42434441434441424441424341424344阶行列式仿照这种由低级行列式定义高一级行列式的方法，如果-1）阶行列式已经定义，那么n就可以
3、用n个（n - 1）阶行列式来定义定义1:行列式aiia21a12a22a1 na2 na，叫做n阶行列式，设n阶行列式已经定义，则n阶行列式的值为a22a23 a2 na21a23 a2 na21 a2 i-1a2 i + 1 a2 na11a32a33 a3 na12a31a33 a3 n+ + ( 1)1+i a1ia31 a3 i-1a3 i + 1 a3 nan 2an 3 annan 1an 3 annan1 ani -1ani +1 annD =nnn 1n 2+ + ( 1)1 +a21a31a22a32a2 n-1a3 n-1an1ann -1其中叮i, j = 1, 2,，
4、n）称为n阶行列式的元素,a , a ,，a1122nn称为主对角线上的元素.定义2在n阶行列式D中，元素aj的余子式Mj是在D中划去花所在的行和列，余下的元素按原来的顺序 组成的 1）阶行列式元素aj的余子式M j的前面添加符号（-1）i+j称为元素a j的代数余子式记为Aj行列式的性质与计算（一）、n阶行列式的性质性质1 （交换性质）行列依次互换，行列式的值不变.性质2 （倍乘性质）某行（列）所有元素同乘以数k ,所得行列式的值等于原行列式的k倍.性质3行列式中有一行（列）各元素全为零，则该行列式的值为零.性质4 对换行列式任意两行（列）式的位置，行列式反号.性质5 行列式中有两行（列）元
5、素对应相同，则行列式的值为零.性质6 行列式中有两行（列）元素对应成比例，则行列式的值为零.性质7如果行列式中有一行（列）各元素都可以写成二项之和，则此行列式等于两个行列式之和，并 且这两个行列式除了这一行（列）夕卜，其余元素与原行列式的对应元素相同性质8 （倍加性质）把某一行（列）各元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上，行列式的值不变.例1计算行列式的数值（特例这三种行列式的值等于主对角线的乘积）aii00 00a220 000a33 0=a a a1122nn（1）对角行列式000 - ann9aii00 0a21a220 0a31a32a33 0=a a a1122nn（2）左下三角行
6、列式an 1an 2an 3- ann9（按第i行展开）=a A + a A + + A A1 j 1 j 2 j 2 jnJnj（按第j列展开）（其中 i，j = I，2,，n）a1100a12a220a13a23a33 a1 n a2 n a3 n=a a a1122nn（3）右上三角行列式000 - ann（二）、n阶行列式的计算 定理 行列式D的值等于它的任一行（列）所有元素与其相对应的代数余子式作乘积之和.=a A + a A + + A Ai1 i1i 2 i 2in in+ + A A = 0ni nj推论 行列式D某一行（列）各元素与其另一行（列）对应的代数余子式作乘积，其和为
7、零.a A + a A + + A A = 0 呂卩 i 1 j 1i 2 j 2in jn，1 i（其中i, j = 1,2,n,且i丰j）如果把定理和推论合起来简记为:ik jkk =1k =1D, j C, j = 1,2,n ）0, i 丰 jn阶行列式的计算方法很多，现在介绍两种常用的方法:1 上三角形法:具体步骤如下：利用行列式的性质，以a11, a22 an-1 n-1所在行为准将其下方的元素化为零，直至化为一个上三角形行列式，这时主对角线上元素的乘积就是所求n阶行列式的值可以证明：任何一个行列式经过一系列变换总可以化成上三角形行列式.注意：行列式的变换必须是“保值”（“等值”）
8、的变换。2 降阶法（利用性质8和定理）然后再利用定利用行列式性质（特别是性质8）将行列式中某一行（列）化为仅含有一个非零元素, 理按 此行（列）展开，变为低一阶的行列式，如此继续下去，直至降为一个三阶或二阶行列式。例1：计算行列式:解：方法上三角形法即化为上三角行列式1111r2r1111111111120r4 r02100120c / c4120r45 r103240234504205130153D =11111111r + 2 r0120r + r0120r + r007400744200730001=1 x 1 x (7) x 1 = 7方法二:111111112321120r + r2
9、032按第 1 x(1)1+23114120r r3011列展开3154250425042降阶法D =r + 2 r二=(-1)按第三-(-1)X( - 1)2 + 311列展开11课堂练习:1.用适当的方法计算下列行列式解：214121415625623-121r + r5062按第二 ，1)1+2-3-50r 一 r31/v 、-3-501 Xl3 1 ( 1)1232r 一 2 r-30-50列展开3156200050625062=0D(2)xyx + y2 x +2 yyx + y宁(2 x + 2 y)1yx + yc + c2 x +cyx + yx2 yx + yx(2 x + 2 y) x1x + yxc + cx + yxy132 x +2 yxy1xyDr - r1yx + yr + r1yx + y21 (2 x + 2 y) x0x一 y31 (2 x + 2 y) x0x一 yr - r320一 yy - x002 y=(2 x + 2 y) x 2 xy=4 x2 y + 4 xy 221413-121
