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1、直线的对称问题一、特殊的对称1. 点p(a,b)关于原点对称的点为关于轴的对称点的坐标为;关于V轴的对称点的坐标为;关于y = x的对称点的坐标为;关于y = _兀的对称点的坐标为.关于直线兀=a对称的点坐标为;关于直线y = b对称的点坐标为；2. 直线1： Ax+By+C=0关于特殊直线的对称问题(对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解： 关于x轴对称(以代)；关于y轴对称(以代);关于y=x对称(互换)； 关于x+y=0对称(以代,以代);关于x=a对称(以代)；关于y=b对称(以代) 3. 特别地曲线(1) 曲线F(x,y) = 0关于点的对称曲线的方程F (2d x,2b 刃=0(2
2、) 曲线F(x,y) = 0关于x轴和丁轴对称的曲线方程分别是F(x-y) = 0和F(-x,刃=0(3) 曲线F(x,y) = 0关于直线x = ay = a对称的曲线方程分别是F(2 兀,刃=0和F(x,2a y) = 0(4) 关于直线y = xy = -x对称的曲线方程分别是F(y,兀)=0和F(-y-x) = 0二、常见对称类型1、点关于点对称问题例求 点A(2,4)关于点P(4,6)的对称点A的坐标，(2) A(1,7),A (3,5)关于点P对称，求点P坐标。1 1练习：点5(-2,0)关于点M (0,-1)对称的点3的坐标是2、线关于点对称问题例2求直线L :3x + 4y-1
3、2 = 0关于点P(l,3)的对称直线厶的方程。1 2练习：1.与直线x+2y-l=0关于点(1, 一1)对称的直线方程为()A. 2xy5=0 B. x+2y3=0 C. x+2y+3=0 D. 2xy1=02. 已知直线l：3x-2y = 1与点pG,2),贝！j直线/关于点P的对称直线方程为3、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用：(1)两直线斜率互为负倒数，(2)中点坐标公式来求得。 例3已知点P(l,2),直线/:2x-y + 3 = 0,求点P关于直线L的对称点门的坐标。练习：1.两点A(a + 2,b + 2)f B(b-a-b)关于直线4x + 3y
4、 = 11 对称，则。=, b =2. 点A(4, 5)关于直线1的对称点为B(-2, 7),贝| 1的方程为 3xy+3=03. 已知点AC4,4),直线/： 3x+y-2 = 0,则A关于直线/的对称点A的坐标是.4、线关于线的对称问题 例4 (1)求直线1 : x-y-l=O关于直线1 : x-y+l=O对称的直线1的方程.1 2(2) 求已知直线L:x-y-2 = Q关于直线3x y + 3 = 0对称的直线方程。(3) 已知直线I】： x-y-l=O,： l22x-y-2=0,若直线打和1】关于直线1对称，则1的方程是 练习：1. 两直线y=x和x=l关于直线1对称，直线1的方程是2
5、. 已知直线/： y = 2x + 3,直线/与/关于直线x+y = O对称，则直线/的斜率为()1 2 1 21 1CA. -B. -C. 2D. -22 23. 直线a:2x+y-4 = 0关于直线/:3x + 4y-l = 0对称的直线b的方程为光线反射问题例4(1)光线过点A(-2, 4),经过2xy7=0反射，若反射线通过点B(5, 8),求入射光线与反射光线所在直 线的方程；练习：1、某光线从点A (3, 2)射入，经x轴反射经过点B (-1, 6), 所在的直线方程。2. 从点(2, 3)射出的光线沿与向量a=(8, 4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()AA.
6、 x+2y4=0 B. 2x+y1=0 C. x+6y16=0 D. 6x+y8=03. 在直角坐标系中，A(4, 0), B(0, 4),从点P(2, 0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线0B ,最后 经直线0B反射后又回到P点，则光线所经过的路程是. 210.最值问题关于此类问题的一般结论是： 若定点A, B在定直线1的同侧，作A关于1的对称点/，连A，B交1于P,则点P使(|PA| + |PB|) . =|AZmmB|. 若定点A, B在定直线1的同侧，连AB交1于Q,则点Q使| |AQ| |BQ| | =|AB|.max 若定点A, B在定直线1的异侧，连AB交1于P,则点P使(
7、|AP| + |BP|) . =|AB|.min 若定点A, B在定直线1的异侧，作A关于1的对称点A，连A，B交1于Q,则点Q使|AQ|-|BQ| =Kfid ax*15：在直线Z:3x-y-1 = 0上求一点P,使得：、点尸到A(4,l)和$6,4)的距离之差的绝对值最大； 、点P到A(4,l)和C(3,4)的距离之和的最小；练习：1.设点A(-3,5)和3015),在直线八3兀-4y + 4 = 0上找一点P,使PA + FB最小，并求最小值2.直线2x-y-4 = 0上有一点P,若P与两定点A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大，则P点的坐标是(A ) 23 34A. (5,6)B. (y,y)C. (-5,-14)D. (0,-4)3. 已知点世，一1)和点B(8, 2)均在直线1： x-y-1=0的同侧，动点P(x, y)在直线1上，求|PA| + |PB|的 最小值.；65.
