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1、2023年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案直线方程的概念与直线的斜率(山东周 2023年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 教学设计说明 一【教材分析】 本节课选自普通高中课程标准实验教课书数学必修2（B版）第二章第二节第一课时，直线方程的概念与直线的斜率,教学内容有直线方程的概念、直线倾斜角、斜率以及直线倾斜角与直线斜率的关系等概念。直线的倾斜角和斜率都描述了直线的倾斜程度，倾斜角从几何角度刻画了直线的倾斜程度，斜率是从数量关系上刻画了直线的倾斜程度。直线的倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；而
2、斜率则是代数量,建立斜率公式的过程，体现了解析法的基本思想：把几何问题代数化，通过代数运算研究几何图形的性质,而且它在以后建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起到核心作用,是本节课的重点.同时，本节课是第一次用方程研究直线，为后续研究曲线起到一个示范作用. 二【目标分析】 （1）、理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的斜率.（2）、通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生综合运用知识解决问题的能力.（3）、帮助学生进一步了解分类讨论思想、数形结合思想，在教学中充
3、分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣. 三.【教学问题诊断】 学情分析之知识储备：1.学生之前已经学习了函数的图象和性质，现在基本会画简单函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识也足以让学生理解直线的方程概念，教材是由一次函数的图像引入的，是将一次函数与其图像的对应关系，转换成直线方程和直线的对应关系。这样引入比较自然，符合学生的认知特点。2.直线方程的学习安排在三角函数之前，因此，倾斜角的 2023年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案 正切等于斜率，这一事实还不能直接引入。在研究斜率与倾斜角的关系时,由于没有三角函数
4、的知识,学生接受起来比较困难,这是本节课的难点.在这部分内容的研究中，鼓励学生小组讨论, 尽多的给学生动手的机会，让学生在实践中体验二者的联系,学生充分利用特值验证，或斜率公式作出解释,教师再利用几何画板演示变化关系,给学生更加深刻的直观印象,从而突破难点.学情分析之心理准备：对现在的高中生来说，他们的思维能力、阅读能力已基本成熟。其中相当一部分学生可以把握正确的阅读方法来理解材料内容的大意和结构，有目的的检索有关的阅读信息。而由于数学语言的特殊性，数学阅读要求学生在阅读中必须不断的同化和顺应新的数学概念、术语及符号，不断进行假设、预测、检验、推理和想象，不断的观察、比较、分析、综合、抽象和概
5、括。所以教师要适时指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解，引导他们在阅读探究中主动获取知识，形成能力. 四.【教法分析】 综合以上分析, 教法上本着“教是为了不教”的教学思想，主要采用自学、阅读、问题探究式教学与学习方法。通过鼓励学生阅读课本，引导学生捕捉数学问题并解决问题，让学生自主探索与合作交流相结合，使学生从懂到会到悟，提高解决问题的能力。同时借助多媒体辅助教学，增强教学的直观性，提高课堂效率。 教学过程设计如下: 环节一 新课引入 展示数学教育家波利亚名言:学习任何东西,最好的途径是自己去探究发现.提出阅读是探究知识的重要手段.揭示本节课研究方式:自主阅读,探索研究! 【设
6、计意图】通过声情并茂的激励语，鼓励学生认真阅读，自主探索,大胆尝试！ 环节二 概念探究(一) 自学阅读:阅读课本74页内容,自主探究直线方程的概念. 概念形成: 教师提出问题1 问题1：本部分内容阐述了哪些概念?你是如何理解这些概念的? 学生活动：学生分析讨论，师生共同总结。 强调直线方程的概念: 1.直线上点的坐标都是方程的解，2.以方程的解为坐标的点都在直线上，两者缺一不可. 2023年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案 学生可能还会发现：有的方程不一定是函数，引导学生举例说明如x=2，教师指出，用函数表示直线不全面，用方程更全面 【设计意图】在学生读书思考的基础上，通过教师
7、的指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解。层层深入，与学生共同体会概念的严谨，感受学习的乐趣。 概念深化：思考：如图，（1）直线l的方程是 yx=1吗？为什么？ （2）直线l的方程是x(x-y)=0吗？为什么？ 学生讨论交流得出：（1） yx=1不满足直线上所有点的坐标是方程的解（2）x(x-y)=0不满足以方程的解为坐标的点都在直线上，所以均不是直线的方程.教师及时强调定义的两部分内容缺一不可。 【设计意图】加深对直线方程的概念的理解,使学生明确直线方程的概念的两部分缺一不可. 环节三 概念探究(二) 自学阅读:如何通过方程研究直线的问题,我们需要哪些工具?请学生带着问题阅读课本
8、第75页内容.学生边读边思考，教师合理安排阅读时间，控制阅读进程 【设计意图】根据不同的阅读任务和性质，向学生提出阅读要求，让学生带着问题边阅读边思考，使阅读更有效. 概念形成 本部分内容主要涉及哪些概念?（斜率和倾斜角）.问题2：能谈谈你对斜率的认识吗？ 学生可能会回答直线斜率的定义，以及已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2，如何求斜率的公式。 教师进一步引导：两点间斜率公式有什么注意事项吗？ 引导学生讨论，学生代表发言： （一）垂直于x 轴的直线无斜率 （二）斜率公式与直线上点的位置无关,学生一般会想到用相似三角形的相似比来证明该问题，此处渗透了数形结合的思想 （三）
9、斜率的几何意义.教师总结点评. 思考：关于斜率，你还有其它认识吗? 这是一个发散性问题，学生一般会联系物理学中s=vt，速度就是斜率， 教师引导学生发现斜率与函数单调性的关系 学生活动:在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解。关于对斜率公式的注意事项,其他学生补充，教师完善总结。引导他们在交流中主动获取知识，形成能力. 2023年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案 问题3:反映直线倾斜程度的量,除了代数角度的斜率,还有别的量吗？请一名同学谈谈对倾斜角的认识.学生不难回答出倾斜角的定义和范围. 【设计意图】以问题研讨的形式替代教师的讲解
10、，分化知识点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利于学生对知识的掌握，并强化对斜率的理解学生在讨论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦思考题是发散性问题，鼓励学生注意学科间以及所学知识前后的联系. 环节四 概念探究(三) 问题4: 斜率与倾斜角分别从代数和几何的角度反映了直线的倾斜程度,两者之间有什么关系? 学生活动: 教师给学生提供一个交流、讨论的氛围，相互学习，相互补充.请小组代表到讲台讲解,教师及时点评补充,最后教师可借助动画展示,让学生有更直观深刻的印象.思路一: 特值验证：已知A(1,0)B(3,1) C(2,1)，D(1,1) E(1,0)， F(-2,1)求直线AB,AC,A
11、D,AE,AF的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角，直角还是钝角。并观察出倾斜角随斜率变化的情况. 思路二: 以斜率为正值的两条不平行的直线为例,分别取两点,使得x相同，比较y的大小关系，进而判断斜率大小，再观察倾斜角的大小，进而得出结论. 教师提供思路三 ： 教师演示几何画板做出的动画. 思考：斜率与倾斜角之间还有别的关系吗？ 学生结合初中所学直角三角形知识回答：在倾斜角为锐角情况下，斜率等于倾斜角的正切值.教师补充：钝角情况同样适用，但目前超出了我们的知识范围,关于斜率和倾斜角的关系，我们将在必修4中再次讨论。 【设计意图】斜率与倾斜角的关系是本节课的难点.学生在自主探索，自由想象和相互交
12、流的过程中，充分感受到成功和失败的情感体验，深刻地领会到数形结合思想在解决问题中所起的作用.第一种方法学生容易想到,第二种方法体现了斜率公式的应用,第三种动画演示可以使学生有更直观深刻的印象.通过讨论交流演示,层层深入,突破本节课难点. 环节五 知识应用 2023年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案 1.求下列直线的斜率 （1）y=13（2）3x+5y-2=0 x-1 (3)已知直线上两点A(a,c),B(b,c)ab 2.求斜率为-12.且过点（2， 13）的直线方程，并画出图象 3.判断正误： （1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （2）直线的倾斜角越大，斜率也越大 （3）
13、平行于x轴的直线的倾斜角是0o或180o 4.如图所示，直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3，则：（ ） B.k3k1k2 C.k3k2k 1Dk1k3k2 学生回答，教师对学生的回答进行评价。在整个练习过程中，教师做好课堂巡视，加强对学生个别指导。 【设计意图】巩固所学知识，有助于保持学生自主学习的热情和信心。,第一题总结求直线斜率的方法,第二题总结已知斜率和一点可以确定一条直线,为下节研究直线的点斜式方程做好准备.第三题是概念辨析，第四题体现本节课难点,考察直线斜率与倾斜角的关系。 问题由学生解决，解题后的反思总结由学生自主完成，教师作出补充和总结。培养学生自主获取知识的能力
14、A.k1k2k3 环节六 小结与作业 引导学生从知识和方法两方面总结本节课所学内容,教师补充完善.布置作业.【设计意图】让学生大胆发言，归纳总结本节课的收获，教师及时点评。充分肯定学生的学习成果，鼓励学生阅读思考，进一步提高自主学习的能力.分层次布置作业,让各层次学生均得以发展 五.【设计特色】 本节课的教学设计始终本着这样的理念 “不但要教给学生知识,更重要的是教给学生获取知识的能力”,而阅读是自学的重要形式，自学能力的核心是阅读能力。因此，教会学生学习的重头戏就是教会学生阅读，培养其阅读能力。希望能做到授人以渔，而非授人以鱼。所以，这节课既是一堂新课又是一堂自学阅读课.整个教学过程, 鼓励
15、学生自主阅读，探索研究学习，从激发学生学习的内驱力入手，把课堂还给学生。提倡在学生读书思考的基础上，通过教师的指点，围绕重点难 2023年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案 点展开讨论和交流，鼓励学生发表独立见解，引导他们在阅读探究中主动获取知识，形成能力，改变过去我们熟悉的“教师讲，学生听”，“教师问学生答”及大量演练习题的模式。符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透.整个教学设计中，特别注重以下几个方面： （1）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“读”有所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣。 （2）有效指导学生阅读的方法，鼓励学生做探究式阅读，而非被动接受式阅读。，使其养成“边阅读，边思考”的阅读习
