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1、第8讲函数与方程基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1(2014无锡调研)函数f(x)ex3x的零点个数是_解析由已知得f(x)ex30,所以f(x)在R上单调递增,又f(1)e130,f(1)e30,所以f(x)的零点个数是1.答案12在下列区间中,函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为_;.解析f(x)ex4x3,f(x)ex40.f(x)在其定义域上是单调递增函数f 40,f(0)e040320,F 20,f 10,f f 0,故选.答案3若函数f(x)ax2x1有且仅有一个零点,则实数a的取值为_解析当a0时,函数f(x)x1为一次函数,则1是函数的零点,即函数仅有一个零点;
2、当a0时,函数f(x)ax2x1为二次函数,并且仅有一个零点,则一元二次方程ax2x10有两个相等实根14a0,解得a.综上,当a0或a时,函数仅有一个零点答案0或4(2013朝阳区期末)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是_解析因为函数f(x)2xa在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内,则有,所以0a3.答案(0,3)5已知函数f(x)x2x,g(x)xln x,h(x)x1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是_解析依据零点的意义,转化为函数yx分别和y2x,yln x,y1的交点的横坐标大小问
3、题,作出草图,易得x10x21x3.答案x1x2x36若函数f(x)axb(a0)有一个零点是2,那么函数g(x)bx2ax的零点是_解析由已知条件2ab0,即b2a,g(x)2ax2ax2ax,则g(x)的零点是x0,x.答案0,7函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n,n1)(nN)内,则n_.解析求函数f(x)3x7ln x的零点,可以大致估算两个相邻自然数的函数值,如f(2)1ln 2,由于ln 2ln e1,所以f(2)0,f(3)2ln 3,由于ln 31,所以f(3)0,所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内,故n2.答案28已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3
4、个零点,则实数m的取值范围是_解析画出f(x)的图象,如图由函数g(x)f(x)m有3个零点,结合图象得:0m1,即m(0,1)答案(0,1)二、解答题9函数f(x)x33x2.(1)求f(x)的零点;(2)求分别满足f(x)0,f(x)0,f(x)0的x的取值范围解f(x)x33x2x(x1)(x1)2(x1)(x1)(x2x2)(x1)2(x2)(1)令f(x)0,函数f(x)的零点为x1或x2.(2)令f(x)0,得x2;所以满足f(x)0的x的取值范围是(,2);满足f(x)0的x的取值集合是1,2;令f(x)0,得2x1或x1,满足f(x)0的x的取值范围是(2,1)(1,)10若关
5、于x的方程3x25xa0的一个根在(2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a的取值范围解设f(x)3x25xa,则f(x)为开口向上的抛物线(如图所示)f(x)0的两根分别在区间(2,0),(1,3)内,即解得12a0.所求a的取值范围是(12,0)能力提升题组(建议用时:25分钟)一、填空题1(2014烟台模拟)如图是函数f(x)x2axb的图象,则函数g(x)ln xf(x)的零点所在区间是_;(1,2);(2,3)解析由f(x)的图象知0b1,f(1)0,从而2a1,g(x)ln x2xa,g(x)在定义域内单调递增,gln 1a0,g(1)2a0,gg(1)0.答案2(2013连云港检
6、测)已知函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x),且当x1,1时,f(x)|x|,函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5上的零点的个数为_解析函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x),故f(x2)f(x1)f(x)f(x),即函数f(x)的周期为2,作出x1,1时,f(x)|x|的图象,并利用周期性作出函数f(x)在5,5上的图象,在同一坐标系内再作出g(x)在5,5上的图象,由图象可知,函数f(x)与g(x)的图象有9个交点,所以函数h(x)f(x)g(x)在区间5,5上的零点的个数为9.答案93(2013天津卷改编)设函数f(x)exx2,g(x)ln xx23.若
7、实数a,b满足f(a)0,g(b)0,则g(a),0,f(b)的大小关系为_解析由f(x)ex10知f(x)在R上单调递增,且f(0)120,f(1)e10,所以f(a)0时,a(0,1)又g(x)ln xx23在(0,)上单调递增,且g(1)20,所以g(a)0,由g(2)ln 210,g(b)0,得b(1,2)又f(1)e10,f(b)0.故g(a)0f(b)答案g(a)0f(b)二、解答题4(2014深圳调研)已知二次函数f(x)的最小值为4,且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3,xR(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数g(x)4ln x的零点个数解(1)f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)0的解集为x|1x3,xR,f(x)a(x1)(x3)ax22ax3a,且a0.f(x)minf(1)4a4,a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4ln xx4ln x2(x0),g(x)1.当x变化时,g(x),g(x)的取值变化情况如下:x(0,1)1(1,3)3(3,)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时,g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3,)单调递增,因而g(x)在(3,)上只有1个零点故g(x)在(0,)只有1个零点. /