《第十章 非球形扰动项与广义最小二乘(GLS)(金融计量》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十章 非球形扰动项与广义最小二乘(GLS)(金融计量（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十章非球形扰动项与广义最小二乘（GLS）一） 问题的提出多元化回归模型扰动项违背古典假设的更一般的模型是广义回归模型，即假设y 二 XP + 8,E8 二 0,E関=G 20（1）其中Q是一般的正定矩阵，而不是在古典假设的情况下的单位矩阵。古典假设条件情况只是 这种模型的一个特例。我们将考察的正定矩阵Q两种特殊的情况是异方差性和自相关。异方差性 当扰动项有不同的方差时，它们就是异方差的，异方差性经常产生于横截面数据，其 中因变量的尺度（scales）和模型解释能力在不同的观察值之间倾向于变动。我们仍然假设不同观测值之间扰动无关。因此0 2Q是C 2010 C 2C 2 0 =20000C 2
2、n自相关自相关经常出现在时间序列数据中，经济时间序列经常表现出一种“记忆”，因为变化在不同时期之间不是独立的。时间序列数据通常是同方差的，因此0 2Q可能是1 P 1P 1C 20=0 21PPn-1n - 2Pn -1Pn-21非对角线上的值依赖于扰动项的模式。普通最小二乘法（OLS）的结果具有球形干扰项E8=02)重申前面的内容，普通最小二乘估计量，b = (XX)-1 xy =卩 + (XX)-1X fe(3)是最佳线性无偏的、一致的和渐近正态分布的(CAN二Consis tent and asymp tot ically normally distributed),并且如果干扰项服从正
3、态分布，在所有CAN估计量中它是渐近有 效的。现在我们考察哪些特性在(1)模型中仍然成立。有限样本特性对(3)两边取期望，如果Efe I X = 0，则Eb = EJEb I X = 0(4)X如果回归量和扰动项是无关的，则最小二乘法的无偏性不受(2)假设变化的影响。最小二乘法估计量的样本方差是Varb - 0 = E(b - 0)(b - 0)，=E( XX)-i X fefeX (XX) -i=(XX)-iX(b 2X(XX)-i-1 XQX (XX、-1( 5 )在(3)中，b是fe的线性函数，因此，如果fe服从正态分布，则b N0,b2(XX)-i(X0X)(XX)-1由于最小二乘估计
4、量的方差不再是b 2(XX)-1，任何基于s2(XX)-1的推断都可能导致错误。不仅使用的矩阵是错误的，而且s2也可能是b 2的有偏估计量。通常无法知道 b 2(XX)-1是比b的真正方差大还是小，因此即使有b 2的一个好的估计，Varb的传统估 计量也不会有用。最小二乘法的渐近特性如果Varb收敛于0则b是一致的。使用表现良好的回归量，(XX /n)-1将收敛到 一个常数矩阵(可能是0)，并且最前面的乘子b 2 /n将收敛于0。但XQX /n不一定收敛,如果它收敛，则从(5)式可推断普通最小二乘是一致的和无偏的。因此如果p lim(XX /n)和p lim(X fQX /n)都是有限正定矩阵
5、，则b是B的一致估计量。上述结论成立的条件依赖于X和Q。另一种分离这两个组成部分的处理办法是：如果1、Xz X最小的特征根当n fg时无限制地增加，这意味着plim(XX)-1二0 ；2、Q最大的特征根对于所有n都是有限的。对于异方差模型，方差就是特征根。因此,要求它们是有限的。对于有自相关的模型，这要求Q的元素有限并且非对角线元素与对角线 元素相比不是特别大。那么，普通最小二乘法在广义回归模型中是一致的。说明普通最小二乘法是不一致的模型假定回归模型是y =卩+ ，其中的均值为0,方差为常数并且在不同观测值之间具有相同的相关系数P。于是Q= p p 1 p矩阵X是一列1。M的普通最小二乘估计量
6、是b二(XX)-1Xy = y。把Q代入(5),得Var刃二(X X)-1X ( 2X(XX)-1q 2(5a)二 (1 -p + np)n这个表达式的极限是pQ 2而不是0。尽管0LS是无偏的，但它不是一致的。对于这个模型，X QX / n = 1 +p (n 1)不收敛。由于X是一列1,因此XX = n是一个标量，满足条件1；但是，Q的特征根是1-p (重数是n-1)和(1 -p + np)，不满足条件2； 这个例子中模型的困难是不同观测值间有太多的相关。在时间序列情况下，我们一般要求观 测值之间关于时间的相关系数随它们之间距离增加而减小。这里条件没有被满足。关于在简 介中曾讨论的自相关扰
7、动项的协方差矩阵上需要附加什么种类的要求，这给出一些很有意义 的信息。如果vn (b - P)=J丄X乜vn5b)的极限分布是正态的，则OLS估计量渐近地服从正态分布。如果plim（XX /n） = Q，那么右边项的极限分布与5c)v = Q -i X fe = Q -i工 x nn i 1i的分布相同，其中x是X的一行（当然假定极限分布确实存在）。现在，问题是中心极限定 理是否可以直接应用于V。如果扰动项只是异方差的而且仍是无关的，答案通常是肯定的。在这种情况下，很容易看到只要X表现良好，而且Q对角元素是有限的，最小二乘估计量是 渐近正态分布的，方差矩阵由（5）给出。对于大多数一般的情况，答
8、案是否定的，因为（5c） 中的和不一定是相互独立或是甚至无关的随机变量的和。不过，雨宫（1985）和安德森（1971） 曾指出，自相关扰动项的模型中b的渐近正态性是足够普遍的，以致于包括了我们在实际中 可能遇到的大多数情况。我们可以得到结论，除了在特别不利的情况 下，b渐近地服从均值为B，方差矩阵由（5）给出的正态分布。总之， OLS 在这个模型中只保留了它的一些可取性质，它是无偏的、一致的和渐近正态 分布的。不过，它不是有效。我们需要寻求b的有效估计。二）广义最小二乘（GLS）在广义回归模型中，B的有效估计需要关于Q的知识。我们只考察Q是已知的、对称 正定矩阵的情况，这种情况偶尔会发生，但在
9、大多数的模型中Q包含必须估计的未知参数。由于Q是正定对称矩阵，它可以分解为Q = C a C（6）其中C的各列是Q的特征向量经过正交化而得到，即CC =1，而且Q的特征根被放在 对角矩阵a中。令a 1/2是对角元素为J九.的对角矩阵。I如果令P = C A-1/2，贝IQ-i = PP用P前乘（1）中的模型可得Py = PX 卩 + Ps7)s 的方差是*Es s二 Pc 2GP = g 21*因此，这个变换后的模型就是一个我们熟悉的古典回归模型。由于q已知，所以，y 和X* 是可观测数据。在古典回归模型中， OLS 是有效的。因此p = (XX )-1Xy = (XPPX)-iXPPy =
10、(XG-iX)-1XG-iy* * * *是卩的有效估计量。这是卩的广义最小二乘(GLS)估计量。按照古典回归模型，我们有以下结论：如果Es I X = 0，GLS估计量卩是无偏的。这等价于EPs I P X = 0，但由于P*是已知常数的矩阵，即要求Es I X = 0，也即要求回归量与扰动项是无关的，是我们模型的基本假设。如果Q*8)GLS估计量是一致的，其中Q*是有限正定矩阵。进行替换可得n. ( X G-i X )-1p lim I n丿= Q *-i*9)我们需要的是变换后的数据X = P X而不是原始数据X的数据。*根据(9)的假设，GLS估计量是渐近正态分布的，均值为卩，样本方差
11、为Var P = c 2( X X ) -1 =c 2( X G-1X ) -1(io)*通过对(7)中的模型应用高斯一马尔科夫定理可得如下的艾特肯(1935)定理:GLS估计量P是广义回归模型中的最小方差线性无偏估计量。a有时被称为艾特肯估计量。这是一个一般性结果，当i时高斯一马尔科夫定理是它 的一个特例。对于假设检验，我们可以把所有结果应用到变换后的模型(7)中。为了检验J个线性 约束RB =q，相应的统计量是B 门(RP- q)R(&2(XX )-1R卜 1(R0 q)F J, n K =J( 號)/J c c02 ，其中残差向量是 y -X p,* *02(y - Xp)PP(y -
12、Xp)n - K(y - Xp) di( y - Xp)n - K有约束的GLS残差 y - X卩，基于c * cP p - (X X )-1RR(X X ) -1R-1 (Rp - q) c*p - X 0-1X-1RR(X 0-1X)-1R-1(Rp - q)(11)总之，对于古典模型的所有结果，包括通常的推断过程，都适用于(7)中的模型。应该注意的是：在广义回归模型中没有R2的准确对等物。不同的统计量有不同的意义, 但使用它们时一定要谨慎。三) 可行的最小二乘估计(FGLS)上一节的结果是基于Q必须是已知的条件基础上的。如果Q含有必须估计的未知参数, 则 GLS 是不可行的。但在无约束的
13、情况下， 0 20 中有 n(n+1)/2 个附加参数。这对于用 n 个观测值来估计这么多的参数是不现实的。只有当模型中需要估计的参数较少时，即模型中 Q某种结构要简化，才可以找到求解的方法。可行的最小二乘估计(F GLS)具有代表性的问题涉及到一小组参数o，满足n = Q（o）。例如，。只有一个未知数p ,其常见的表达形式是1 pp2P 3P n-10=P 1pP 2p n - 2P n-1p n-21一个也只包含一个新参数的异方差模型是Q 2i=Q 2 z ai接下来，假定0是o的一致估计量（如果我们知道如何求得这样的估计量）为了使GLS估计可行，我们将使用d = 0（0）替代真正的0。我
14、们所考虑的问题是利用0（0）是否要求我们改变上节的某些结果。如果plim0 =0，利用0似乎渐近等价于利用真正的0 （根据slutsky定理）。当然我们还需要满足一些其他的相应的条件。令可行广义最小二乘（或FGLS）估计量记为0 = (X 0-1X) -1X 0-1 y那么，0渐近等价于a的条件是p lim十X 0-1X十 X 0-1X=p lim= p limnn18)19)p lim 丄 X 0-18 = p lim 丄 X 0-吒nn如果（7）中变换后的回归量表现良好，则（19）右边服务从极限正态分布。这正是我 们求最小二乘估计量的渐近分布时所利用的条件。因此，当0替0时（19）要求同样的条 件成
