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1、广东省中山市2015届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分 1.设随机变量服从正态分布,若,则( )A 3 B C5 D2在ABC中,已知b4 ,c2 ,A120,则 ( )A2 B6 C2 或6 D2 3设a1b0,则下列不等式中正确的是 (A)(-a)7(-a)9 (B)b- 9b- 7 (C) (D)4. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为则抛物线的方程是( ) A. B. C. D. 5设是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题中正确的是 (A)若且,则(第6题图) 正视图 侧视图俯视图2221(B)若且,则(C)若且,则(D)若
2、且,则 6已知某锥体的三视图(单位:cm )如图所示,则该锥体的体积为(A)2 (B)4 (C)6 (D)87的展开式的常数项是(A)48 (B)48 (C)112 (D)1128袋子里有3颗白球,4颗黑球,5颗红球由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球,抽取后不放回若每颗球被抽到的机会均等,则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率是(A) (B) (C) (D)二填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分(一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题,每道试题考生都必须作答9已知复数z满足= i(其中i是虚数单位),则 10设,其中实数满足且,则的取值范围是 11已知抛物线上两点的横坐标恰
3、是方程的两个实根,则直线的方程是 12口袋中装有大小质地都相同、编号为1,2,3,4,5,6的球各一只现从中一次性随机地取出两个球,设取出的两球中较小的编号为,则随机变量的数学期望是 13在ABC中,C=90,点M满足,则sinBAM的最大值是 (二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能选做一题14(坐标系与参数方程选做题)若直线的极坐标方程为,曲线:上的点到直线的距离为,则的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆的直径,是的延长线上一点,过点 作圆的切线,切点为,连接,若,则 . 三、解答题:本大题共5小题,共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分13分)
4、 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中,规定每位同学只能选一个科目。已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙,情况如下表:科目甲科目乙总计第一小组156第二小组246总计3912现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.(1)求选出的4 人均选科目乙的概率;(2)设为选出的4个人中选科目甲的人数,求的分布列和数学期望18(本题满分14分)如图所示,平面,PABCDM(第20题图)为等边三角形,为中点(I)证明:平面;(II)若与平面所成角的正切值 为,求二面角-的正切值19(本小题满分14分)设等差数列的前n项和为,且数列的前n项和为,且,(I)求数列,的通项公式;(I
5、I)设, 求数列的前项和OFACBDxy(第20题图)20(本题满分14分)已知椭圆:的离心率为,其右焦点与椭圆的左顶点的距离是3两条直线交于点,其斜率满足设交椭圆于A、C两点,交椭圆于B、D两点(I)求椭圆的方程;(II)写出线段的长关于的函数表达式,并求四边形面积的最大值 21(本小题满分14分)设函数.()若,求函数在1,e上的最小值;()若函数在上存在单调递增区间,试求实数的取值范围;16(本题满分14分)解:()由,得, 1分又,代入得,由,得, 3分, 5分得, 7分(), 9分,则 11分 14分17. (本小题满分12分)解:(1)设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件,“从
6、第二小组选出的2人选科目乙”为事件.由于事 件、相互独立, 且, .4分所以选出的4人均选科目乙的概率为 6分(2)设可能的取值为0,1,2,3.得 , ,, 9分的分布列为 的数学期望 13分(19)(本小题满分14分)解:()由题意,得 3分 ,两式相减,得数列为等比数列, 7分() 当为偶数时, = 10分当为奇数时,(法一)为偶数, 13分(法二) 13分 14分18(本题满分15分)解:()证明:因为M为等边ABC的AC边的中点,所以BMAC依题意CDAC,且A、B、C、D四点共面,所以BMCD 3分又因为BM平面PCD,CD平面PCD,所以BM平面PCD 5分PABCDM(第18题
7、图)FE()因为CDAC,CDPA,所以CD平面PAC,故PD与平面 PAC所成的角即为CPD7分 不妨设PA=AB=1,则PC= 由于, 所以CD=9分 (方法一)在等腰RtPAC中,过点M作MEPC于点E,再在RtPCD中作EFPD于点F因为MEPC,MECD,所以ME平面PCD,可得MEPD又EFPD,所以EFM即为二面角C-PD-M的平面角 12分 易知PE=3EC,ME=,EF=, PABCDM(第18题图)xyz 所以tanEFM=, 即二面角C-PD-M的正切值是15分 (方法二)以A点为坐标原点,AC为x轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz则P(0,0,1),M(),C(1
8、,0,0),D则,若设和分别是平面PCD和平面PMD的法向量,则,可取由,可取 12分 所以,故二面角C-PD-M的余弦值是,其正切值是 15分21(本题满分14分)解:()设右焦点(其中), 依题意,所以 3分 所以,故椭圆的方程是 5分()由()知,F(1,0)将通过焦点F的直线方程代入椭圆的方程,可得, 其判别式 特别地,对于直线,若设,则 ,. 10分又设,由于B、D位于直线的异侧,所以与异号因此B、D到直线的距离之和21(本小题满分14分)解: (1) ,1分依题设,有,即,2分解得3分 4分(2)方程,即,得, 5分记,则. 6分令,得 7分当变化时,、的变化情况如下表:当时,F(x)取极小值;当时,F(x)取极大值8分作出直线和函数的大致图象,可知当或时,它们有两个不同的交点,因此方程恰有两个不同的实根, 9分(3) ,得,又。, 10分由,得,11分 ,即12分又13分即,故的整数部分为 l4分12分 综合可得,四边形ABCD的面积 因为,所以,于是 当时,单调递减,所以当,即时, 四边形ABCD的面积取得最大值 15分22(本题满分14分)解:()时, ,求导可得 3分 所以,在单调递增,故的最小值是5分()依题意, 6分()由()可知,若取,则当时,即 于是 ,即知8分 所以 9分 欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org