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1、2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1cosxcx0(1)若函数f(x)ax,在x0处连续，则()b,x0【答案】A_1_1cos.xOx111【解析】limlim,Qf(x)在x0处连续bab-.选a.x0axx0ax2a2a2-_(2)设函数f(x)可导，且f(x)f(x)0,则()【答案】C【解析】Qf(x)f(x)0,f(x)0(1)或f(x)0(2),只有C选项?t足(1)且满足(2),所以选C。f(x)0f(x)0(3)函数f(x,y,z)x2yz2
2、在点(1,2,0)处沿向量u1,2,2的方向导数为()【答案】D【解析】gradf2xy,x2,2z,gradf叱)4,1,0gradf示4,1,013,|,|2.选D.(4)甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，图中实线表示甲的速度曲线vv1(t)(单位：m/s),虚线表示乙的速度曲线VV2(t),三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s),则()【答案】Bt0t0【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为0V1(t)dt,0v2(t)dt,则乙要追上甲，则t0V2(t)V1(t)dt10,当t025时满足，故选C.(5)设【
3、答案】A是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则(【解析】选项A,由(E T)0得(E T)x 0有非零解，故E T 0。即E T不可逆。选项B,由r( T)它选项类似理解。1得 T的特征值为n-1个0, 1.故ET的特征值为n-1个1 , 2.故可逆。其(6)设矩阵A【答案】B【解析】由(E2 0 00 2 1 ,B0 0 1A)2 1 00 2 0 ,C0 0 11 0 00 2 0 ,则()0 0 20可知A的特征值为2,2,1100因为3r(2EA)1,A可相似对角化，且A020002由EB0可知B特征值为2,2,1.因为3r(2EB)2,.B不可相似对角化，显然C可相似对角化,AC，且
4、B不相似于CP(A B)的充分必要条件是()设A,B为随机概率，若0P(A)1,0P(B)1，则P(AB)【答案】A【解析】按照条件概率定义展开，则A选项符合题意。(8)设 X1，X2Xn(n 2)为来自总体N( ,1)的简单随机样本，记1n，一一Xi,则下列结论中不正确的ni1是()【答案】B【解析】由于找不正确的结论，故B符合题意。二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上已知函数f(x),则f(0)=1x【答案】f(0)6【解析】(10)微分万程y2y3y0的通解为y【答案】yex(c1cosJ2xc2sinV2x),(g,c2为任意常数)1,2【解析】齐
5、次特征方程为故通解为ex(c1cos、,2xc2sin、,2x)若曲线积分xdxaydy在区域D(x,y)|x2y21内与路径无关，则Lxy1a【答案】a1【解析】一P2津一r,-Q22axy,由积分与路径无关知a1y(x2y21)2x(x2y21)2yx(12)募级数 (1)n 1nxn 1在区间( n 11,1)内的和函数S(x) 骤.(15)(本题满分10分)x 11 x (1 x)2【答案】s(x)nnn1n1/rn1n【解析】(1)nx(1)xn1n1(13)设矩阵A101112,1,2,3为线性无关的3维列向量组，则向量组A1,A2,A3的秩为011【答案】2【解析】由1,2,3线
6、性无关，可知矩阵1,2,3可逆，故123123rA1,A2,A3rA1,2,3rA再由rA2得rA1,A2,A32x4(14)设随机变量X的分布函数为F(x)0.5(x)0.5(一),其中(x)为标准正态分布函数，则EX【答案】205x4_05x4【解析】F(x)0.5(x)05(-),故EX0.5x(x)dx05x(-)dx2222x4x4x(x)dxEX0。令t,则x()dx=242t(t)dt814t(t)dt8因此E(X)2.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步设函数f (u,v)具有2阶连续偏导数,y f(ex,cos
7、x),求dy dxd2y dx2【解析】结论：(16)【解析】(17)dydx(本题满分(本题满分d2y37f11(1,1),10分)10分)已知函数y(x)由方程x求limn3x3y0确定，求y(x)的极值【答案】极大值为 y(1) 1 ,极小值为y( 1) 0【解析】两边求导得：_ 2 _ 2 _ _ _ _ _3x3y y 3 3y 0(1)令y 0得x 1对(1)式两边关于x求导得 6x 6y y2 3y2y 3y 0(2)将x 1代入原题给的等式中，得x 1x 1ory 1y 0将 x 1,y 1 代入(2)得 y”(1)1 0将 x 1,y 0 代入(2)得 y”(1) 2 0故x
8、 1为极大值点，y(1) 1； x1为极小值点，y( 1) 0(18)(本题满分10分)设函数f (x)在区间0,1上具有2阶导数，且f (1)0, lim X)0 ,证明:x 0 x()方程f(x)0在区间(0,1)内至少存在一个实根;2()万程f(x)f(x)(f(x)0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【答案】【解析】(I)f(x)二阶导数，”1)0,limfix10x0xf(x)解：1)由于lim0,根据极限的保号性得x0x0,x(0,)有Ux)0,即f(x)0x进而x0(0,)有0又由于f(x)二阶可导，所以f(x)在0,1上必连续那么f(x)在,1上连续，由f()0,f(1)
9、0根据零点定理得：至少存在一点(，1),使f()0,即得证(II)由(1)可知f(0)0,(0,1)，使f()0,令F(x)f(x)f(x),则f(0)f()0由罗尔定理(0,),使f()0,则F(0)F()F()0,对F(x)在(0,),(,)分别使用罗尔定理：1(0,),2(,)且1,2(0,1),12,使得F(1)F(2)0,即2F(x)f(x)f(x)f(x)0在(0,1)至少有两个不同实根。得证。(19)(本题满分10分)设薄片型物体S是圆锥面z&_y2被柱面z22x割下的有限部分，其上任一点的密度为9x2y2z20记圆锥面与柱面的交线为C()求C在xOy平面上的投影曲线的方程；()
10、求S的M质量。【答案】64【解析】22(1)由题设条件知，C的方程为zXyx2y22x2z22x22则C在xoy平面的方程为xy2xz0(2)（20）（本题满分11分）设3阶矩阵A3有3个不同的特征值，且()证明r(A)求方程组Ax的通解。（I）证明:因此,I)略；（II)通解为k22可得,k0,即1,2,3线性相关,的特征值必有又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有个0,另外两个非0.且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为r(A)r(II)r(A)2,知3r(A)1,Ax0的基础解系只有1个解向量,30可得3,即2,综上,Ax的通解为k(21)（本题满分11分）设二次型在正交变换
11、XQY下的标准型20,则Ax0的基础解系为,kf(x1，x2,x3)的一个特解为1c2222x1x2ax32x1x28x1x32x2x3a的值及一个正交矩阵Q111、.31【答案】a2;Q,3131,262,616,fxQyc2c23y16y2【解析】f(X1,X2,X3)XTAX,其中由于f（X1，X2,X3）XTAX经正交变换后,得到的标准形为21丫122y2故r(A)2|A|0a2,将a2代入,满足r(A)IEA|2,因此2符合题意，此时13,20,由（3EA)x0,可得的属于特征值-3的特征向量为由（6EA)x0,可得A的属于特征值6的特征向量为由(0EA)x0,可得A的属于特征值0的
12、特征向量为31_P1AP2,3彼此正交，故只需单位化即可:I1,1,11,0,1161,2,1T1.313131,2162,61.6QTAQ(22)(本题满分11分)设随机变量X,Y相互独立，且一一一一1的概率分布为P(X0)P(X2)-概率密度为f(y)2y,0y10,其他()求P(YEY)()求2XY的概率密度。乙 0 zz 2,2 z，、4，(I)PYEY；(II)fz(z)9(1)z0,z20,而z0,则Fz(Z)0(2)当z21,z1,即z3时，Fz(Z)10z01z2,0z12,一1所以综上Fz(Z),1z212-(z2),2z32z3z0z1z22z32121,.所以fz(Z)Fz(Z)(23)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果测量的绝对误差ZiXi(i()求Zi的概率密度；()利用一阶矩求的矩估计量【答案】【解析】()Fzi(z)P(Ziz)当z0,Fz(z)0当z0,F,(z)P(zXi当z0时，z22彳综上fz(z)2e,z0,z01n令E(Zi)ZZ-ni1由此可得的矩
