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1、利用 Matlab 软件分析空气中做平抛运动小球的轨迹摘要：分析在做平抛实验中物体实际运行的轨迹与理论轨迹出现差异的原因，并通过计算推 导，借助 Matlab 软件将这种差异表征出来关键词：Matlab，轨迹1、问题引出在人民教育出版社高中物理必修2的第五章曲线运动第3节实验课：研究平 抛运动中，在第14页参考案例一中，有这样的叙述：“钢球从斜槽上滚下，重钢 水平槽飞出后做平抛运动，每次都使钢球在斜槽上同一位置滚下，钢球在空中做 平抛运动的轨迹就是一定的。设法用铅笔妙处小球经过的位置。通过多次试验， 在竖直白纸上记录钢球所经过的多个位置，连起来就得到钢球做平抛运动的轨 迹”。细心的同学在做实验
2、时发现钢球运动的轨迹与理论轨迹有差别，一般的解 释是由于空气阻力的影响。但空气阻力是如何影响运动轨迹的？空气阻力对运动 轨迹的影响有多大？这方面的研究鲜有所见，为此，笔者采取信息技术对这一问 题进行探讨。2、Matlab 简介Mat lab是Ma thworks公司推出的一套高性能数值计算和可视化软件，它集 数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，在系统建模和仿真、科学和 工程绘图及应用程序开发等方面有着广泛应用，Matlab已经由简单的矩阵计算 软件分析发展成为通用性极高、带有多种实用工具的运算操作平台。3、方程推导假设一小钢球在空气中做平抛运动，初速度为v，所受的阻力与速率成正比：
3、f = -kv，k称为阻力系数。在此实验中，小球的质量 m=0.1kg，初速度V=2m/s, 空气阻力系数k=0.5。如图所示，小球受到重力mg，方向竖直向下；空气阻力f,方向与速度方向相反。 根据牛顿第二定律可列出直角坐标方程d2xdxd2 ydym _ = k , m _ = mg - kdt 2dt2dtd 由于 Vx = dx/dt, Vyx = v ,dt m xdy/d t,上式可化为dvk_ydt分离变量得dvkxxdvyg kv / my=dt积分得ln v + ln Cxxm kv丁 ln(g + ln C = t, km当 t 二 0 时，Vx =v =v exp(x0V0
4、,Vy =k_t)m0，可得 Cx = -V0, Cy = -g,因此mg 1 exp(kft). m=0 时，x =0，y = 0，mvx =0k积分上式可得k1exp( - _t)mgm2 gky = t +exp( t) 1kk 2m这是小球的运动方程，也是以时间t为参数的轨道方程。在此实验中，小球 的质量m=0.1kg,初速度V0=2m/s,空气阻力系数k=0.5。所以实验中的小球的运动 方程可表示为：x = 0.41 - exp(5t) y = 2t + 0.4exp(5t) 一 14、编程与绘图在mat lab软件中，调用edit编辑器，编写程序如下:cleart=0:0.01:4
5、;v0=input(请输入水平初速度kvO/mg:);x=v0*(1-exp(-t);y=t+exp(-t)-1;xx=v0*t;yy=t.2/2；figure subplot(2,1,1) plot(t,x,t,xx,-,LineWidth,2)grid onfs=16;title(阻力与速度成正比的平抛运动的横坐标，FontSizefs) xlabel(itt/tau,FontSize,fs) ylabel(itx/srm_0，FontSize，fs)legend(有阻力，无阻力，2)txt二ittaurm=itm/krm,itsrm_0=itmrm2itg/krm2； text(0，ma
6、x(x)，txt，FontSize，fs)subplot(2，1，2) plot(t，y，t，yy，-，LineWidth，2) grid onxlabel(itt/tau，FontSize，fs) ylabel(ity/srm_0，FontSize，fs)title(阻力与速度成正比的平抛运动的纵坐标，FontSizefs) legend (有阻力，无阻力，2) text(0，max(y)，itkvrm_0/itmgrm=，num2str(v0)，FontSize，fs) figureplot(x，y，xx，yy，-，LineWidth，2)grid on xlabel(itx/srm_0，
7、FontSize，fs) ylabel(ity/srm_0，FontSize，fs) title(阻力与速度成正比的平抛运动的轨迹，FontSizefs) legend (有阻力，无阻力) text(0，max(y)，itkvrm_0/itmgrm=，num2str(v0)，FontSize，fs) hold onplot(v0，v0，0，max(yy)，-r)axis ij equal编好程序，运行程序，在对话框中弹出“请输入水平初速度kvO/mg:”，根 据实验数值，输入数字1，则会输出下面他图片:阻力与速度成正比的平拋运动的轨迹11 1 1 I1I11I；隹 IJE 士U:L_八 无阻力
8、 _ I111 II|111X.111 11r 111111|i|L-L-L-Miiii=1 1IlliSiiiiiiiiiiiiiii ir?g=1i -丄hl1111i1iiiii11,11111*%iiiiiiiiiiIlli11Illi11iiiiiI11!1iiiiiirfciiii1 1 1 1 11111Illi1111i 1iiii1111I1iiiiii11*11!111Illi11片 1111iiii1i1.11I1 1 1 11 1 1* iiii1 111i iiii-3-2-10123 xl 567笔者在上图中看出：在理想情况，即无阻力的情况下，小球的轨迹是抛物线;
9、在实际实验环境中，即有阻力的情况下，小球的轨迹比抛物线要弯曲，水平运动 和竖直运动的距离都比较短。这是导致了我们在实验中所绘制出的轨迹出现误差 的原因之一。老师在课堂上给出这样的图片，对于解释误差产生的原因是很有帮 助的。5、结论笔者运用Mat lab这一计算软件，从定量的角度巧妙解决了物理实验教 学中的疑难问题。这对于在物理教学中适当的引入信息技术有很强的启发作 用，将为广大的物理学习者和物理教学工作者提供参考。6、参考文献：1、普通高中课程标准实验教科书物理必修2,北京：人民教育出版社，2010,42、陈杰等，Mat lab宝典（第3版），北京：电子工业出版社，2011,13、周群益等，MATLAB可视化大学物理学，北京：清华大学出版社，2011,3
