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1、word题目：变量代换求解常微分方程院 系：理学院 专 业：信息与计算科学 学 生：郝腾宇 摘 要本问总结了变量代换在常微分方程中的应用，借助恰当的变量代换简化为可解类型，求出其通解或特解，同时举出实例加以证明。变量代换法不仅是一种重要的解题技巧,也是一种重要的数学思维方法。常微分方程通解的求法具有多样性,不同类型的微分方程有不同的解。其中变量代换法是求解常微分方程行之有效的方法,我们如果能通过适当的变量代换法将复杂的微分方程化为可解类型,这样能使求解问题大为简化,进而求出通解。本文就变量代换法在常微分方程课程中的应用展开探讨,给出各种类型常微分方程恰当的变量代换求其通解或者特解。关键词：常微
2、分方程、变量代换法、通解、特解目 录一、 变量代换法求解一阶微分方程3二、 变量代换法求解二阶微分方程6三、 变量代换法求解三阶微分方程7四、 变量代换法求解n阶微分方程7五、 变量代换法求解Euler阶微分方程9六、 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用.10七、 函数变换法求解常微分方程11八、 三角变换法求解常微分方程13九、 拉普拉斯变换求解常微分方程 141变量代换法求解一阶微分方程1对于齐次微分方程，这里是的连续函数，做变量代换，使方程化为变量别离方程，可求解。2)对于准齐次微分方程，这里，均为常数。当常数时，方程直接化为，有通解：当时，做变量代换，将方程化为变量别离方程由上式可求
3、解。当时，做变换，其中为直线和直线在平面的交点，将方程转化为齐次方程由上式可求解。3对于更一般的类型，这里，均为常数当常数时，方程直接转化为，有通解；当时，做变量代换，将方程化为变量别离方程由上式可求解。当时，作变换，其中为直线和直线在平面的交点，将方程化为齐次方程由上式即可求解。4对于方程，这里a，b，c均为常数，作变量代换，将方程化为变量别离方程由上式可求解。5对于方程，这里m，n，均为常数，作变量变换，将方程化为变量别离方程由上式即可求解。6对于方程，这里为常数，作变量变换，是方程化为变量别离方程由上式即可求解。7对于方程，其中M,N为关于x，y的其次函数，做变量变换，化为变量别离方程由
4、上式即可求解。8对于Bernoulli方程，这里P(x)，Q(x)为连续函数，为常数。当时用乘以原方程两边得作变量代换使方程化为线性微分方程，可求解。9对于Riccati方程，当R(x)恒为零时，Riccati方程就是Bernoulli方程，可采用8中的变换求解；当R(x)不为零时，假如yx为Riccati方程的一特解，作变量代换，使方程化为一个关于z的Bernoulli方程由上式即可求解。10对于一阶非齐次线性微分方程，假如Q(x)=0，如此方程变为一阶齐次线性微分方程，有通解；假如对原方程作变量变换，求得待定函数，代会变换，即得方程的通解。2 变量代换法求解二阶微分方程 1)对于二阶变系数
5、齐次微分方程 1设是方程1的一特解，变量变换，将方程化为一阶线性微分方程，可求解。2)对于二阶变系数线性非齐次微分方程 2当方程2满足为常数时，作自变量代换为常数 3如此方程3可化为 4方程4两边乘除以，得 5由于所以，又为常数，由此可知，方程2可化为二阶常系数线性微分方程。3 变量代换发求解三阶微分方程1） 考虑三阶变系数齐次微分方程 6当和时，可作变换，如此方程6可化为 7将和代入7得到常系数齐次微分方程 2） 考虑三阶变系数线性非齐次微分方程 8其中，都是的连续函数，且二次可微，为常数。作自变量变换，如此方程可化为 9方程9两边同时除以得到三阶常系数线性微分方程4 变量代换发求解n阶微分
6、方程1 考虑n阶非齐次线性微分方程 10设方程10对应的n阶齐次微分方程 11通解为 12作变量变换，令 13为10的通解。求出特定函数，代入13，即得10的通解。2考虑常系数非齐次线性微分方程 14这里是常数，。作变量变换，令，如此方程可化为 15其中都是常数。对于方程(15)可采用比拟系数法求得一特解故(14)有特解, 其中k 为特征方程F()=0 的根的重数。3)对于n 阶微分方程 (t,x,)=0 , 当方程不显含未知函数x , 或更一般地, 设方程不含x, 即方程: (1 k n) (16)作变量变换, 令y = , 可将方程降为关于y 的 n-k 阶方程4)对于 n 阶微分方程 ,
7、当方程不显含自变量t , 即方程 (17)作变量变换, 令x=y , 采用数学归纳法不难证明,可用y ,表示出(k n), 将这些表达式代入方程(17), 可使方程化为关于x , y 的n -1 阶方程5 变量代换法求解 Euler 方程形如 (18)的Euler方程, 这里,为常数。对于Euler 方程, 我们可以采用变量代换法从两个不同角度来考虑得以求解。角度一:引进自变量的变换, 如此, 通过直接计算与数学归纳法不难证明:对于一切自然数k 均有关系式 其中都是常数。于是有(19)将(19)代入方程(18), 就得到n 阶常系数齐次线性微分方程(20)其中都是常数。此方程可采用特征根法求得
8、通解, 再代回原来的变量就可得欧拉方程(18)的通解。角度二:由于n 阶常系数齐次线性微分方程(20)有形如的解, 结合角度一中的推演过程, 从而方程(18)有形如的解, 因此可直接求欧拉方程形如的解, 作变量变换, 代入方程(20), 并约去因子, 即可得到确定k 的代数方程, 也是方(20)的特征方程(21)因此, 方程(21)的m 重实根, 对应于方程(18)的m 个解而方程(21)的m 重复根，对应于方程(18)的2m 个实值解:6 变量代换法在研究解或轨线性态中的应用1)考虑非线性常微分方程组解的性态, 我们通常将其与具有某些特殊性质的特解联系在一起考虑。为研究方程组的特解y =(t
9、)邻近的解的性态, 作变量变换使方程组化为，从而使问题转化为讨论方程组零解邻近的解的性态。2)考虑全相平面上的轨线性态时, 常用极坐标变换引入周期解与极限环来刻划全相平面上的轨线性态, 如研究平面一阶非线性驻定方程组的全相平面的轨线状态，做极坐标变换从而使方程组化为经分析可知是稳定的极限环。7 函数变换法求解常微分方程1考虑函数变换法求解伯努利方程设23这里是常数。，是的连续函数。假设方程23有形如的解，如此有24将上式代入方程23，整理可得25假如令，如此26用变量别离法可以求得假如选取，如此。将代入26，求得于是，方程23的解为特别的，当时，得一阶线性非齐次方程的解为这与常数变易法求得的通
10、解相一致。2考虑函数变换法求解Riccati方程的特解。设27其中、是其中某个区间内的一阶可微函数，且。设方程27有形如28的解，如此方程27可化为29令求得与令，如此上式化为此方程可通过公式法或者观察法求解，如此Riccati方程的特解可表示出来。8 三角变换法求解常微分方程在求积分时，当被积函数有形如，等形式时，可通过三角变换法求解。在常微分方程中，遇到此类形式的问题时，我们也可以考虑三角变换法。1对于Chebyshev方程：30做三角变换，并求得，代入原方程，整理得，由上式可解得所以Chebyshev方程的解为2)对于三阶变系数微分方程 31当原方程满足 32可作三角变换并求得代入原方程整理得 由32可得 从而31可简化三阶常系数线性微分方程 9 Laplace变换法求解常微分方程Laplace变换法主要是借助于拉普拉斯变换将常系数微分方程组转换成复变数S的代数方程组，通过一些代数运算，一般在利用拉普拉斯变换表，即可找出微分方程组的解。给定微分方程 33初始条件 ，其中 是常数，而连续且满足原函数的条件。如果是方程33的任意解，与其各阶导数 均是原函数，记 34利用原函数微分性质，对方程33两端施行Laplace变换，从而有 其中和都是多项式，由此 这就是方程33的满足所给初始条件的解的像函数，而可直接查Laplace变换表计算求得 /
