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1、初二数学-面积法解题【本讲教育信息】【解说内容】如何证明面积问题以及用面积法解几何问题 【教学目的】 1 使学生灵活掌握证明几何图形中的面积的措施。 2 培养学生分析问题、解决问题的能力。【 重点、难点】： 重点：证明面积问题的理论根据和措施技巧。 难点：灵活运用所学知识证明面积问题。【教学过程】（一)证明面积问题常用的理论根据 1.三角形的中线把三角形提成两个面积相等的部分。 2. 同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。 . 平行四边形的对角线把其提成两个面积相等的部分。 .同底(等底）的两个三角形面积的比等于高的比。 同高（或等高)的两个三角形面积的比等于底的比。 5.三角形的面积等于等
2、底等高的平行四边形的面积的一半。 8. 有一种角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。（二)证明面积问题常用的证题思路和措施 . 分解法：一般把一种复杂的图形，分解成几种三角形。 . 作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。 3. 运用有关性质法:例如运用中点、中位线等的性质。 4. 还可以运用面积解决其他问题。【典型例题】（一）如何证明面积问题 1. 分解法 例. 从ABC的各顶点作三条平行线AD、E、,各与对边或延长线交于D、E、F,求证：D的面积=AC的面积。 分析:从图形上观测,DE可分为三部分，其中是ADE，它与同底等 三是A,只要再证出它与B的面积相等
3、即可 由CESCB 故可得出SFSBC 证明：AD/B/F ADB和ADE同底等高 DB=SADE 同理可证:SADCSAD SABC=SDE+SF 又SCE=SBF SBSAEF SAEF+ADE+SADF2SA SEF=2SAB 2. 作平行线法 例2. 已知:在梯形ABD中，D/AB,M为腰B上的中点 分析:由M为腰B的中点可想到过作底的平行线M，则MN为其中位线,再运用平行线间的距离相等,设梯形的高为h 证明：过M作/ M为腰B的中点 MN是梯形的中位线 设梯形的高为 （二）用面积法解几何问题 有些几何问题，往往可以用面积法来解决，用面积法解几何问题常用到下列性质: 性质1：等底等高的
4、三角形面积相等 性质2:同底等高的三角形面积相等 性质3:三角形面积等于与它同底等高的平行四边形面积的一半 性质4:等高的两个三角形的面积比等于底之比 性质5:等底的两个三角形的面积比等于高之比 1.证线段之积相等 例3.设AD、B和F是ABC的三条高,求证：ABCBACCFAB 分析:从结论可看出，D、BE、F分别是、AC、AB三边上的高，故可联想到可用面积法。 证明：AD、B、CF是ABC的三条高 2. 证等积问题 例. 过平行四边形BCD的顶点引直线，和B、DC或其延长线分别交于E、F，求证：SABF=SADE 分析:由于AB/D，因此ABF与ABC是同底A和等高的两个三角形,因此这两个
5、三角形的面积相等。 证明：连结AC CF/A 又CEAD . 证线段之和 例5. 已知AC中，AB=AC，P为底边C上任一点,EAB，FC,AC,求证:F=B 分析:已知有垂线，就可看作三角形的高，连结P，则 故PE+PF=B 证明：连结,则 =A，PEAB，PAC 又HAC E+=BH 4. 证角平分线 例6 在平行四边形ACD的两边AD、CD上各取一点F、，使E=CF,连E、F交于，求证：BP平分APC。 分析:要证平分APC,我们可以考虑,只要能证出B点到A、PC的距离相等即可,也就是ABE和BF的高相等即可，又由已知EFC可联想到三角形的面积，因此只要证出SAEBCF即可 由平行四边形
6、BD可得SABESAC，SBFSAB 因此SAB=BFC,因此问题便得解。 证明:连结AC、F 四边形ABCD是平行四边形 SBE=SAB SFCSABC SABE=SBFC 又AE=CF 而ABE和BFC的底分别是AE、C ABE和FC的高也相等 即B到P、PC的距离相等 B点在PC的平分线上 PB平分AP【模拟试题】(答题时间：25分钟） 1. 在平行四边形ABD中,E、F点分别为BC、D的中点，连结A、AE,求证:SE=SA 2在梯形C中，C/A,为腰BC上的中点，求证: . RtBC中，ACB90，a、为两直角边，斜边AB上的高为h,求证: 4已知:E、为四边形ABCD的边AB的三等分
7、点，G、H为边C的三等分点,求证： 5. 在BC中,D是B的中点,E在AC上,且,CD和BE交于G,求C和四边形D的面积比。【试题答案】 1. 证明:连结AC,则 又E、分别为BC、CD的中点 .证明:过作M/DC/AB 为腰C上的中点 DCM和ABM的高相等，设为h1 又DMN与AM的高也为 M为梯形的中位线 3. 证明：在RtBC中,AC=9,CDAB 两边同步除以得: 4. 证明：连结FD、G、 则由已知可得 作M/A，设它们之间的距离为h，G到DM的距离为,则由已知可得、C到DM的距离分别为2、3a 即 +得： 5 证明:作F/A交BE于F 可得DFGC 而 ABC和四边形DE的面积比是:5
