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1、绵阳市高中2014级第二次诊断性考试数学（理工类）第卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合,，则A B C D 2、若复数满足是虚数单位），则的虚部为A B C D 3、某校共有在职教师200人，其中高级教师20人，中级教师100人，初级教师80人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本进行职称改革调研，则抽取的初级教师的人数为A5 B12 C D25 4、“”是与直线垂直的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5、某风险投资公司选择了三个投资项目，设每个项目成功的概率都为，且相互之间
2、没有影响，若每个项目成功都获利20万元，若每个项目失败都亏损5万元，该公司三个投资项目获利的期望为 A30万元 B22.5万元 C10万元 D7.5万元 6、宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的等于A2 B3 C4 D5 7、若一个三位自然数的各位数字中，有且仅有两个数字一样，我们把这样的三位自然数定义为“单重数”，例：，则不超过的“单重数”个数是A19 B27 C28 D37 8、若点的直线与函数的图象交于A、B两点，O为坐标原点，则A B C D10 9、已知是函
3、数的两个零点，则A B C D 10、设分别为双曲线的两个焦点，M、N是双曲线C的一条渐近线上的两点，四边形为矩形，A为双曲线的一个顶点，若的面积为，则该双曲线的离心率为A3 B2 C D 11、已知点在椭圆上，过点作圆的切线，切点为A、B，若直线AB恰好过椭圆C的左焦点F，则的值是A13 B14 C15 D16 12、已知，若，则取得最小值时，所在的区间是A B C D 第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.13、 的展开式的常数项为 14、甲乙甲乙二人能译出某种密码的概率分别为和，现让他们独立地破译这种密码，则至少有1人能译出密码的概率为 15、
4、已知直线与圆相交于A、B两点，点P是圆上的动点，则面积的最大值是 16、已知抛物线，焦点为F，过点作斜率为的直线与抛物线C交于A、B两点，直线AF、BF分别交抛物线C与M、N两点，若，则 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分12分） 数列中，。（1）求证：是等差数列； （2）求数列的前n项和。18、（本小题满分12分） 在中，角所对的边分别为，已知。（1）若，求角； （2）是否存在恰好使是三个连续的自然数？若存在，求的周长；若不存在，请说明理由。19、（本小题满分12分） 2016年下半年，简阳市教体局举行了市教育系统直属单位职工篮球
5、比赛，以增强直属单位间的交流与合作，组织方统计了来自等5个直属单位的男子篮球队的平均身高与本次比赛的平均得分，如下表所示：（1）根据表中的数据，求y关于x的线性回归方程；（系数精确到0.01） （2）若M队平均身高，根据（1）中所得的回归方程，预测M队的平均得分。（精确到0.01）注：回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为20、（本小题满分12分） 已知椭圆的右焦点，过点F作平行于y轴的直线截椭圆C所得的弦长为。（1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线交椭圆C与P、Q两点，N点在直线上，若是等边三角形，求直线的方程。21、（本小题满分12分） 已知函数的两个零点为。（1）求实数的取值范围
6、； （2）求证：。请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程 已知曲线C的参数方程是为参数）（1）将C的参数方程化为普通方程； （2）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为为C上的动点，求线段PQ的中点M到直线的距离的最小值。23、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 已知函数（1）时，求不等式的解集； （2）若对于任意的恒成立，求实数的取值范围。绵阳市高2014级第二次诊断性考试数学(理工类
7、)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分BACAB CCDAD CB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13-11 14 15 16 三、解答题：本大题共6小题，共70分 17解 ：（） 令，则=()-()=（常数）， 故an+1-an是以2为首项，1为公差的等差数列 4分()由（）知， 即an+1-an=n+1，于是 ， 8分故 Sn=2(1-)+2(-)+2(-)+=2(1)= 12分18解：() ， 由正弦定理有sinC=sinA 2分又C=2A，即sin2A=sinA，于是2sinAcosA=sinA， 4分在ABC中，sinA0，于是cosA
8、=， A= 6分()根据已知条件可设，nN* 由C=2A，得sinC=sin2A=2sinAcosA， 8分由余弦定理得， 代入a，b，c可得， 10分解得n=4， a=4，b=5，c=6，从而ABC的周长为15，即存在满足条件的ABC，其周长为15 12分19解：()由已知有 ， ， =0.73，于是=-62.48， 10分() x=185，代入回归方程得=72.57，即可预测M队的平均得分为72.57 12分20解：() 设椭圆C的焦半距为c，则c=，于是a2-b2=6由，整理得y2=b2(1-)=b2= ，解得y=， ，即a2=2b4， 2b4-b2-6=0，解得b2=2，或b2=-（舍
9、去），进而a2=8， 椭圆C的标准方程为 4分()设直线：， 联立直线与椭圆方程： 消去得：， y1+y2=，y1y2= 7分于是， 故线段PQ的中点 8分设， 由，则， 即，整理得，得又是等边三角形， ，即， 即， 整理得， 即，解得 ， 11分 直线l的方程是 12分21解：()， 1分 m0时，0，在上单调递增，不可能有两个零点 2分m0 时，由可解得，由可解得， 在上单调递减，在上单调递增，于是min=， 4分要使得在上有两个零点，则t20 8分要证，即证，即即证 9分令，下面证对任意的恒成立10分 ， ， = 0， 在是增函数， =0， 原不等式成立12分22解：()消去参数得 5分 （）将直线l 的方程化为普通方程为 设Q()，则M()， ， 最小值是10分23解：() 当t=2时，若x1，则，于是由解得x综合得x若1x综合得x 不等式的解集为x| x 5分（）等价于af(x)-x令g(x)= f(x)-x当-1x1时，g(x)=1+t-3x，显然g(x)min=g(1)=t-2当1xg(1)=t-2当tx3时，g(x)=x-t-1，g(x)min=g(1)=t-2 当x1，3时，g(x)min= t-2又 t1，2， g(x)min-1，即a-1综上，的取值范围是a-1 10分欢迎访问“高中试卷网”http:/sj.fjjy.org
