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1、包头师范学院本科毕业论文论文题目：连续谱本征函数的归一化院 系：物理科学与技术学院专业：物理学姓名：赵德胜学号：0809320046指导教师：林 海二O 二 年四月内容摘要根据波函数统计诠释，波函数应满足归一化条件.从三种情况讨论波函数的归 一化问题.对于分立谱要对其进行归一化，而对于连续谱要对其进行归一化，实则就是 他们所选的”归一化”标准不同，但他们之间又有很多微妙的差别和联系，在具体 的解决问题时可以体现出来。波函数（也可称概率幅）是描写粒子体系的量子状 态的函数，是概率波，所以对其归一化的研究是非常有意义的。关键词：波函数；归一化；概率密度；本征函数；边界条件AbstractAccor
2、ding to the statistical interpretation wave function, wave function should meet the normalization conditions. From three of the wavelet function to discuss a normalized problem.For division spectrum in its normalization, while for the continuous spectrum in its return change, actually is they select
3、ed normalization standard between different, but they have a lot of subtle differences and connections, in specific solutions can be reflected. Wave function (can say that probability amplitude) is a description of the quantum state of the particle systems is probability wave function, so for its no
4、rmalization research is very significant.Key WOrds: Wave function； Normalization； Probability density；Eigen function；Boundary conditions目录弓|言11. 什么是归一化22. 表同态的不同波函数的归一化33. 连续谱本征函数的“归一化” 44. 箱式归一化55. 总结7参考文献8致谢9引言与经典物理不同，在量子力学中是用波函数来描述微观粒子运动状态的.但 并不是所有的波函数都有意义，只有那些满足波函数标准条件的函数才能用来 描述微观粒子的运动状态.根据波函数的统
5、计诠释，量子力学对波函数w (r ,t) 提出的要求之一便是一个真实的波函数需要满足归一化条件(平方可积),即|W ( r ,t) | 2 d 3 r = 1,量子力学理论体系是在几个基本假定的基础上建立起 来的.将有关的基本假定概述如下:量子力学体系的状态由一个波函数描写，力学 量用厄密算符表示.力学量算符的本征函数组成一个完备系，且可以构成一个正 交归一的完备系.量子力学体系的任一状态波函数W均可按上述的正交归一完备 函数系展开.当体系处于W态时，测量力学量F得到的结果必为F的某个本征值, 得到此结果的概率(或概率密度)为上述展开式中相应本征函数的系数的模平方. 总的概率当然应该等于1,于
6、是就要求把本征函数和状态波函数归一化，这就是 归一化的物理意义.可见，波函数的归一化问题在量子力学中的地位是多么重要. 本文便从以下几种情况讨论波函数的归一化问题.一、什么是归一化由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总 和等于一，因而粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强 度，而不决定于强度的绝对大小。如果把波函数在空间个点的振幅同时加大一倍， 并不影响粒子在空间各点的概率，换句话说，将波函数乘上一个常数后，所描写 的粒子的状态并不改变。量子力学中的波函数的这种性质是其他波动过程(如声 波、光波等等)所没有的。对于声波、光波等，体系的状态随振幅的大
7、小而改变， 如果把各处振幅加大为二倍，那么声或光的轻度到处都加大为四倍，这就完全是 另一个态了。1下面用数学来表达波函数的这种性质，设波函数W 3,y,z,r)描写粒子的状态， 在空间一点过(x,y,z)和时刻t，波的强度是w|2=w*w，w*表示W的共轭复 数。以dW(x，y，z，t)表示在时刻t、在坐标x到x+dx、y到y+dy、z到z+dz 的无限小区域内找到粒子的概率，则dW除了和这个区域的体积小=dxdydz成比 例外，也和在这个区域内没一点找到粒子的概率成比例。按照波函数的统计解释， 在这个区域内一点找到粒子的概率与w (x,y,z,t)|2成比例，所以dW(x，y，z，t) =C
8、W(x,y,z,t)|2dt，始终C是比例常数。以体积dt除概率dW，得到在时刻t、 在(x，y，z)点伏击单位体积内找到粒子的概率，我们成这个概率为概率密度， 并以w(x, y, z, t)表示：w(x, y, z, t) = d(x；y, z, )= Cw (x, y, z, t )|2。 dt将上式对整个空间积分，得到粒子在整个空间中出现的概率，由于粒子存在 于空间中，这个概率等于1，所以有CW (x,y,z,t)2dt = 1，3式中积分号下的无穷大表示对整个空间积分。由CW (x,y,z,t)2dt= 1式有3I Fd前面曾提到，波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的概率
9、, 即不改变波函数所描写的状态。现在把C式所确定的C开方后乘，并以 表示所得出的函数：(x,y,z,t)=.C (x,y,z,t)。则波函数和所描写的是同一个状态。于是，由dW(x，y，z，t)二C| (x,y,z,t)2d，在t时刻、在(x，y，z)点附近体积元d内找到粒子的概率是 dW (x，y，z，t)=| (x,y,z,t)2d，概率密度是 w(x，y，z，t)=| (x,y,z,t)2。而C | (x,y,z,t)2d 1式改写为|(x,y,z,t)2d 1。满足上式的波函数成为归一化波函数，上式成为归一化条件，吧换成 的步骤成为归一化，使换 成的常数厂成为归一化因子。二、表同态的不
10、同波函数的归一化如果粒子可以处于用波函数中(r,t )和中2 (r ,t)=AW j (r ,t)描述的状 态(其中A为任意复常数)，分别用i(r,t)和2(r,t)来表示两者坐标的取值 概率密度，则有(r,t) =2|中 2 (r, t)2中 2 (r,t)2 d中(r,t)|21:=( ,t)显七(r, t)|2d i然，两者给出的坐标的取值概率密度是完全相同的.即两个相差一个复常数的波 函数描述的是同一个状态.在这一点上，概率波与经典波有着本质的差别.一个 经典波的波幅若增大一倍，则相应的波的能量将为原来的四倍，因而代表完全不 同的波动状态.经典波根本谈不上归一化，而概率波却可以进行归一
11、化.那么， 如何对该波函数进行归一化呢？我们可以根据波函数所特有的这个性质，去选择一个恰当常数因子.又由于(6为实常数)，如果中仃,训2=1对整个空间积分为1,则件中3 J)2对整个空间积分也等于1,也就是说波函数可以相差一个复常数因子.这样，我们 可以利用”来构造一个新的波函数4 ( r ,t)=c(t)W ( r ,t)式中c(t)是任 意一个只与时间相关的函数.全新波函数4 ( r ,t)满足时(f,t)|2dT = 1则利用 构造的波函数可以得到归一化常数c(t) = |w (f,t)|2dT-2函，其中6称为相因子, 通常选为零.至此，该类波函数归一化完毕，此时坐标f的概率密度(f
12、,t) =4(f,t)|2.三、连续谱本征函数的“归一化”并不是所有的波函数都可以按J |叩(r ,t) | 2 dT =1的要求归一化。这种归 化条件要求波函数绝对值平方|中(亍，。|2在整个空间是可以积分的波函数冲dT是有限的。如果合格条件不被满足，即J冲(f ,t) I 2 dT发散，此时，归一化常数C(t)等于零零，显然这种归一化是没有意义的.以动量本征态为例，粒子的本征态为p的本征函数为w (r) = c庠%，p为可以取全空间中连续 p变化的一切实数值.不难看出，只要C乏0, J Iw p ( r )| 2 d T = |c |2。j dT =8 即中(f)是不能归一化的.讨论至此，
13、连续谱本征函数的“归一化”似乎不可能 实现了，不过如果在数学上不过分严格要求，引用Dirac的6函数，该“归一化” 问题便迎刃而解了.仍以动量本征态为例,本征值p的本征函数w p (f) = ceip匕，式 中c是归一化常数.为了确定c的数值，计算积分j 中*（v）中（r）dr = c2L L J exp（p 一p ）x+（p 一p ）y+（p 一p ）zdxdydz p p h x X y y z z因为 J8 exp-（p 一 p ）xdx = 2兀方8（p 一 p ）式中5 （p p ）是以（p p ）为宗x Xx Xx xx x8量的6函数.3所以有j 中* （r）中（r）dT = c
14、2 （2兀力）35 （p 一 p ）5 （p 一 p ）5 （p 一 p ） = c2 （2兀力）35 （p 一 p）8 p px x y y zz.3因此，如果去c = (2兀力)-2，则W (r)归一化为0函数， pj W* (r )W (r )dT =d (p - p) 3 pp1 iW (r) =exp( p - r)p(2兀方)2W (r)不是按归一化条件(平方可积)要求的那样归一化为1,而是归一化为0 p函数，这是由于W (r)所属的本征值p可以取任意值，动量的本征谱组成连续 p谱的缘故.可见，无论力学量的本征值组成分立谱还是连续谱，本征函数和状态 波函数都应该是归一化的，也是可以
15、归一化的，其物理意义是一样的，都表示测量 力学量得到所有各种可能的结果的总概率等于1,只是数学表达的形式有所不同. 同样，坐标本征态也是不能归一化的,也可类似处理，用0函数来表述其“归一化”, 这里就不再赘述了。四、箱式归一化在一些具体问题中遇到动量的本征值问题时，常常需要把动量的连续本征值 变为分立本征值进行计算，最后再把分立本征值变回连续本征值.这种情况可以 通过箱归一化来实现，即设想粒子被限制在一个正方形箱中，箱的边长为L,取箱 的中心作为坐标原点.要求波函数在两个相对的箱壁上对应的点具有相同的值,此即周期性边界条件.在此条件下有W (-L) = W (L)可解出p =女也, p 2 p 2x Lp =方 y，p = 2 (n ,n ,n = 0,1,2.)可见 p，p，p 均取分立值。y Lz L x y zx y z在加进周期性边界条件后，选取归一化常数c = L-2，则W =e()，动量 p3(2兀方)2本征函数可以归一化为1,即有W二(r)W (r)dT = .1 ftdxjdyj沽 =1此即箱-2 2 2归一化。当L 一 8时，本征值谱就由分立谱变为连续谱，此时Px,Py,Pz连
