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1、第3章 线性方程组的解法本章探讨大型线性方程组计算机求解的常用数值方法的构造和原理，主要介绍在计算机上有效快速地求解线性方程组的有关知识和方法。重点论述Jacobi迭代法、Seidel迭代法、Guass消元法及LU分解法的原理、构造、收敛性等内容。3.1 实际案例3.2问题的描述与基本概念解线性方程组问题在线性代数中已有很优美的行列式解法，但对大型的线性方程组（阶数n40）的求解问题使用价值并不大，因为其计算量太大。实际问题中经常遇到自变量个数n都很大的线性方程组求解问题，这些线性方程组要借助计算机的帮助才能求出解。n个变元的线性方程组的一般形式为 （3.3）式中，aij 称为系数，bi称为右
2、端项，它们都是已知的常数。如果有使方程组（3.3）成立，则称值为线性方程组的（3.3）的一组解。本章在不作特别说明的情况下，主要讨论m=n的线性方程组的求解问题，且假设它有唯一解。线性方程组的矩阵表示式中A称为系数矩阵，b称为右端项。数值分析中，线性方程组的数值解法主要分为直接法和迭代法两大类。直接法是用有限次计算就能求出线性方程组“准确解”的方法（不考虑舍入误差）；迭代法是由线性方程组构造出迭代计算公式，然后以一个猜测的向量作为迭代计算的初始向量逐步迭代计算，来获得满足精度要求的近似解。迭代法是一种逐次逼近的方法。3.3线性方程组的迭代解法线性方程组迭代解法有Jocobi迭代法、Seidel
3、迭代法及Sor法等基本思想（与简单迭代法类比）将线性方程组等价变形为以构造向量迭代格式用算出的向量迭代序列去逼近解。1. 构造原理1）Jacobi迭代法（1)将线性方程组（3.4）的第i个变元用其他n-1个变元表出，可得 （3.5）称（3.5）为不动点方程组。（2）将（3.5）式写成迭代格式(Jacobi迭代格式): （3.6）（3）取定初始向量，代入，可逐次算出向量序列，这里。2）Seidel迭代法Seidel迭代格式:Seidel迭代并不能取代Jacobi迭代!3）Sor法用Seidel迭代算出的与相减得到差向量采用加速技术做下一步迭代：得Sor法的迭代格式式中参数w称为松弛因子，可以任意
4、选取，当w =1时，Sor法就是Seidel迭代法。例如对线性方程组先将其写成不动点方程组Jacobi迭代 Seidel迭代 由 得Sor迭代2.迭代分析及向量收敛 1） 三种迭代法的向量迭格式对 Ax=b，将系数矩阵A作如下分解则Ax=b可以写成假设存在，得Ax=b的等价方程组由此可得到l Jacobi迭代的向量迭代格式引入符号，则有l Jacobi迭代的向量迭代格式称为Jacobi迭代矩阵。类似的，有l Seidel向量迭代格式，。称为Seidel迭代矩阵。l Sor法的向量迭代格式，。称为超松弛迭代矩阵。三种迭代格式可用一个迭代格式2）向量收敛定义定义3.1 设向量序列及向量都是中的向量
5、，如果有 成立,则称收敛于。简记为。3）范数定义与科学计算中的常用范数定义3.2 设L是数域K上的一个线性空间，如果定义在L上的实值函数满足1) ，有, 且；2) ，有；3) ，有,则称是L上的一个范数，称为x的一个范数。范数的定义很象绝对值函数，故常用或表示范数，而范数常记为或。这样，上面范数定义中的3个条件常写为1），有, 且；2），有；3），有将其与绝对值比较，是否很象？实际上，很多有关绝对值的运算和结论可以平行引进到有关范数的运算和证明问题中。数值分析中常用的线性空间有l n维向量空间l 矩阵空间连续函数空函数空间是由闭区间上所有连续函数组成的集合，其线性运算定义为加法数乘 ，为数在这
6、些空间上，数值分析中常用的范数有(1)的向量范数1) 2) 3) 式中向量。(2) 的矩阵范数矩阵范数要满足如下四条1），有,且；2），有；3），有4），有（相容性）与向量范数做对比由于线性方程组求解问题中，系数矩阵总是与向量联系在一起的，为描述这种联系，引入如下的算子范数概念。定义3.3 设矩阵，称为矩阵A的算子范数。容易证明，矩阵A的算子范数也是矩阵范数，且满足不等式关系.例：设为矩阵的算子范数，证明若，则为非奇异矩阵，且证：用反证法。若为奇异矩阵，则其对应的方程组有非零解，即有，使，得出两边取范数并作范数运算，矛盾，得非奇异。常用的矩阵范数有如下4种1）列范数：2）行范数：3）F范数：4
7、）2范数：，是最大特征值。以上4个矩阵范数中，是算子范数，不是算子范数。3）范数等价与向量极限定义3.4 设是线性空间L上的两个范数，若存在正常数m和M，成立则称范数是等价范数。定理3.1 上的所有范数都是等价的。定理3.2 。式中是上任何一种范数。4）谱半径及其与范数的关系定义3.5 设，是A的n个特征值，则称实数为矩阵A的谱半径。注意如果是复数，表示复数模。定理3.3 设为任意算子范数，则有证明 设是A的任意一个特征值，为对应的特征向量，则有取范数，得因为，上式同除，得由k的任意性可得。3. 迭代法的收敛条件与误差估计1）收敛条件定理：线性迭代格式对任意初始向量都收敛的充要条件是迭代矩阵谱
8、半径。引理3.4 设，则证明 必要性设，在中令，得，两式相减并把k+1记为k，得由及的任意性，有。再由引理，可得。充分性因为，则有I-B非奇异（这里I为单位矩阵），从而线性方程组有唯一解，即有展开有。类似必要性处理，有由引理，由有，上式取极限，得。谱半径一般不易计算，因此充要条件收敛定理通常只用在理论上。但由该定理，可以得到如下易于计算的判别迭代收敛条件，要注意它们都是充分条件！l 判别条件若，则迭代格式对任意初始向量都收敛于线性方程组的唯一解。是矩阵B的某种算子范数。定义3.6设，1）如果A的主对角元素满足 （3.17）则称矩阵A是严格行对角占优阵；2）如果A的主对角元素满足 （3.18）则
9、称矩阵A是严格列对角占优。严格行对角占优阵和严格列对角占优阵统称为严格对角占优阵。定理 严格对角占优阵是非奇异矩阵。证明 不妨设矩阵是严格行对角占优阵。用反正法。若A是奇异的，则由矩阵理论可知，齐次线性方程组有非零解，即存在，满足。记，有将的第m个等式写为等式两边取绝对值有因为，上式同除，有此与A是严格行对角占优阵矛盾。故若A是非奇异的。l 判别条件设矩阵A是严格对角占优阵，则线性方程组的Jacobi迭代和Seidel迭代对任意初始向量都收敛。l 判别条件III设A是对称正定矩阵，则的Seidel迭代对任意初始向量都收敛。判别条件II的证明证明 只对A是行对角占优情况证之。设矩阵A是严格行对角
10、占优阵，则有， Jacobi迭代矩阵，故有由判别条件，可得Jacobi迭代的收敛性。对Seidel迭代，其迭代矩阵，设是矩阵的任一特征值，则有特征方程因，故矩阵的特征方程变为这个行列式方程对应的矩阵如果，利用矩阵A的行对角占优定义，可以得出如下不等式这说明矩阵也是行严格对角占优阵，由定理，有。矛盾，故应有成立。由的任意性有谱半径，于是可得Seidel迭代的收敛性。定理3.7 Sor法收敛的必要条件是松弛因子w满足0w2。证明 因为Sor法的迭代矩阵为有 设是的n个特征值，则有，若Sor收敛，必有，注意到，得。解之得。2）误差估计定理3.8 设矩阵B的某种矩阵范数，则由式算出的序列与线性方程组的准确解有如下的误差估计1）事后估计式 2）事先估计式 证明可以参照非线性方程求根定理的证明，注意将那里的绝对值换成这里的范数，那里的函数换成这里的矩阵，
