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1、第十章 多元函数积分学一元函数积分学中，我们已经建立了定积分理论，本章将把这一理论推广到多元函数，建立起多元函数积分学的理论，并把这一类统一地描述为黎曼（Riemann）积分.第一节 二重积分一、二重积分的概念下面我们通过计算曲顶柱体的体积和平面薄片的质量，引出二重积分的定义.1.曲顶柱体的体积设z=f（x，y）是定义在有界闭区域D上的非负（即f（x，y）0）连续函数，它在直角坐柱系中的图形是空间曲面S，怎样求以曲面S为顶，以闭区域D为底，其侧面是一柱面（它的准线是闭区域D的边界L，母线平行于z轴）的曲顶柱体的体积呢（图10-1）？图10-1分析这个问题，我们看到它与求曲边梯形的面积问题是类似
2、的.可以用与定积分类似的方法（即分割、近似代替、求和、取极限的方法）来解决它（图10-2）.图10-2（1）分割闭区域D为n个小闭区域1，2，n，同时也用i表示第i个小闭区域的面积，相应地此曲顶柱体被分为n个小曲顶柱体.（2）在每个小闭区域上任取一点（1，1），（2，2），（n，n），对第i个小曲顶柱体的体积，用高为f（i，i）而底为i的平顶柱体的体积来近似代替.（3）这n个平顶柱体的体积之和Vn=,就是曲顶柱体体积的近似值.（4）用=maxd（i）表示n个小闭区域i的直径的最大值（一个闭区域的直径是指闭区域上任意两点间距离的最大值）.当0（可理解为i收缩为一点）时，上述和式的极限，就是曲顶柱
3、体的体积：V=.2.平面薄片的质量设薄片在xOy平面占有平面闭区域D，它在点（x，y）处的面密度是=（x，y）.设（x，y）是连续的，求薄片的质量（图10-3）.图10-3先分割闭区域D为n个小闭区域1，2，n，在每个小闭区域上任取一点（1，1），（2，2），（n，n）近似地，以点（i，i）处的面密度（i，i）代替小闭区域i上各点处的面密度，得到第i块小薄片的质量的近似值（i，i）i，于是整个薄片质量的近似值是Mn=,用=maxd（i）表示n个小闭区域i的直径的最大值，当D无限细分，即当0时，Mn的极限就是薄片的质量M，即M=.以上两个具体问题，虽然背景不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限
4、.抽象出来就得到下述二重积分的定义.定义1 设D是xOy平面上的有界闭区域，二元函数z=f（x，y）在D上有界.将D分为n个小区域1，2，n，同时用i表示该小区域的面积，记i的直径为d（i），并令=d（i）.在i上任取一点（i，i），（i=1，2，n），作乘积f（i,i）i，把这些乘积加起来，得和式Sn= .若0时，Sn的极限存在(它不依赖于D的分法及点的取法)，则称这个极限值为函数z=f（x，y）在D上的二重积分，记作，即=， （10-1-1）其中D叫做积分区域，f（x，y）叫做被积函数，d叫做面积元素，f（x，y）d叫做被积表达式，x与y叫做积分变量，叫做积分和.在直角坐标系中，我们常用平
5、行于x轴和y轴的直线（y=常数和x=常数）把区域D分割成小矩形，它的边长是x和y，从而=xy，因此在直角坐标系中的面积元素可写成d=dxdy，二重积分也可记作=.有了二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示.曲顶柱体的体积V是函数z=f（x，y）在区域D上的二重积分V=；薄片的质量M是面密度=（x，y）在区域D上的二重积分M=因为总可以把被积函数z=f（x，y）看作空间的一张曲面，所以当f（x，y）为正时，二重积分的几何意义就是曲顶柱体的体积；当f（x，y）为负时，柱体就在xOy平面下方，二重积分就是曲顶柱体体积的负值.如果f（x，y）在某部分区域上是正的，而在其余的部分区域上是
6、负的，那么f（x，y）在D上的二重积分就等于这些部分区域上柱体体积的代数和.如果f（x，y）在区域D上的二重积分存在（即和式的极限（10-1-1）存在），则称f（x，y）在D上可积.什么样的函数是可积的呢？与一元函数定积分的情形一样，我们只叙述有关结论，而不作证明.如果f（x，y）是闭区域D上连续，或分块连续的函数，则f（x，y）在D上可积.我们总假定z=f（x,y）在闭区域D上连续，所以f（x,y）在D上的二重积分都是存在的，以后就不再一一加以说明.二、二重积分的性质设二元函数f（x，y），g（x，y）在闭区域D上连续，于是这些函数的二重积分存在.利用二重积分的定义，可以证明它的若干基本性质
7、.下面列举这些性质，我们只证其中的几个，其余的请读者自己去证明.性质1 常数因子可提到积分号外面，即： =k ，其中k是常数.性质2 函数的代数和的积分等于各函数的积分的代数和，即： =性质3 设闭区域D由D1、D2组成，且D1、D2除边界点外无公共点（见图10-4），则f（x，y）在D上的二重积分等于在D1及D2上二重积分的和，即 =+. （10-1-2）图10-4证 将D1，D2任意分成许多小闭区域，这样D也被分成了许多小闭区域：1，2，n如以i1表示包含在D1中的小闭区域，i2表示包含在D2中的小闭区域，则=，其中n1+n2=n.令=maxd（i）0，在等式两边取极限就得到（10-1-2
8、）式.这个性质表示二重积分对积分区域具有可加性.性质4 设在闭区域D上f（x，y）=1，为D的面积，则=从几何意义上来看这是很明显的.因为高为1的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积.性质5 设在闭区域D上有f（x，y）g（x，y），则。性质6。证 显然在D上有。由性质5得，于是得到。这就是说，函数二重积分的绝对值必小于（或等于）该函数绝对值的二重积分.性质7 设函数f（x，y）在闭区域D上连续，是D的面积，则在D上至少存在一点（，）使得下式成立=f（，）这一性质称为二重积分的中值定理.证 因f（x，y）在有界闭区域D上连续，根据有界闭区域上连续函数取到最大值、最小值定理，在D上必存在一点
9、（x1，y1）使（f（x1，y1）等于最大值M，又存在一点（x2，y2）使f（x2，y2）等于最小值m，那末对于D上所有点（x，y），有m=f（x2，y2）f（x，y）f（x1，y1）=M由性质1，5可得mM再由性质4得mM，或mM根据闭区域上连续函数的介值定理知，D上必存在一点（，），使得=f（，），即=f（，），（，）D证毕.二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：当Sz=f（x，y）为空间一连续曲面时，对以S为顶的曲顶柱体，必定存在一个以D为底，以D内某点（，）的函数值f（，）为高的平顶柱体，它的体积f（，）就等于这个曲顶柱体的体积.三、二重积分的计算前面我们已经建立了二重积分的概念与性质
10、，本节将根据二重积分的几何意义来说明二重积分的计算方法.把计算二重积分的问题，化为接连计算两个定积分的问题.下面我们考虑利用直角坐标系计算二重积分的问题.按照二重积分的几何意义，当被积函数f（x，y）0时，二重积分的值等于以D为底，以曲面z=f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积.下面我们用“切片法”来求曲顶柱体的体积V.设积分区域D由两条平行直线x=a，x=b及两条连续曲线y=1（x），y=2（x）（在a，b上1（x）2（x）所围成，这时D可用不等式axb与1（x）y2（x）来表示（图10-5）.图10-5用平行于yOz坐标面的平面x=x0（ax0b）去截曲顶柱体，得一截面，它是一个以区间1（x0
11、），2（x0）为底，以z=f（x0，y）为曲边的曲边梯形（图10-6），所以这截面的面积为图10-6A（x0）=一般地，过区间a，b上任一点且平行于yOz坐标面的平面，与曲顶柱体相交所得截面的面积为A（x）=，其中y是积分变量，x在积分时保持不变.因此在区间a，b上，A（x）是x的函数.现在用平行于yOz坐标面的平面，把曲顶柱体切割成许多薄片.考虑位于x与x+dx之间的薄片，这个薄片的厚度为dx，于是薄片的体积近似为dV=A（x）dx.所以曲顶柱体的体积为V=，即得=，或记作=上式右端是一个先对y，后对x积分的累次积分.这里应当注意的是：做第一次积分时，因为是在求x处的截面积A（x），所以x是
12、a，b之间任何一个固定的值，y是积分变量；做第二次积分时，是沿着x轴累加这些薄片的体积A（x）dx，所以x是积分变量.在上面的讨论中，开始假定了f（x，y）0，而事实上，没有这个条件，上面的公式仍然正确.这里把此结论叙述如下：若z=f（x，y）在闭区域D上连续，D：axb，1（x）y2（x），则 = （10-1-3）完全类似地，先对x积分再对y积分就有结论：若z=f（x，y）在闭区域D上连续，D：cyd，1（y）x2（y）（图10-7），则有 = （10-1-4）图10-7当我们把二重积分化成累次积分时，需要先画出积分区域D的图形，按图形找出区域D中点的x，y坐标所满足的不等式，然后再来确定两
13、次定积分的上下限.图10-8例1 计算二重积分，其中D为直线y=x与抛物线y=x2所包围的闭区域.解 先画出区域D的图形，再求出y=x与y=x2两条曲线的交点，它们是（0，0）及（1，1）.区域D（图10-8）可表示为：0x1，x2yx因此由公式（10-1-3）得=也可以化为先对x，后对y的积分，这时区域D可表为：0y1，yx.由公式（10-1-4）得=.积分后与上面结果相同.例2 计算二重积分，其中D是由直线y=x，x=-1和y=1所围成的闭区域.解 画出积分区域D，易知D：-1x1，xy1（图10-9），若利用公式（10-1-3）得图10-9=若利用公式（10-1-4），就有=，也可得同样
14、的结果.例3 计算二重积分,其中D是直线y=2，y=x和双曲线xy=1所围之闭区域.解 求得三线的三个交点分别是及（2，2）.如果先对y积分，那么当x1时，y的下限是双曲线y=，而当1x2时，y的下限是直线y=x，因此需要用直线x=1把区域D分为D1和D2两部分（图10-10）.图10-10D1: x1，y2；D2: 1x2， xy2.于是=+=+=+=+=+=如果先对x积分，那么D1y2，xy，于是=由此可见，对于这种区域D，如果先对y积分，就需要把区域D分成几个区域来计算.这比先对x积分繁琐多了.所以，把重积分化为累次积分时，需要根据区域D和被积函数的特点，选择适当的次序进行积分.例4 设f（x，y）连续，求证=证 按照公式（10-1-3），上式左端可表为=，
