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1、椭圆中常考的十六条焦点性质及其证明(一)椭圆中,PT平分PF1F2在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.证明:延长F2H至M,交PF1于MPT平分MPF2,又F2HPT,又,.H轨迹是以长轴为直径的圆,除长轴端点.(二)椭圆中,椭圆焦点三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明:如图,设以焦半径MF2为直径的圆的半径为r1,圆心为O1,由椭圆定义知O、O1相内切(三)设A1、A2为椭圆的左、右顶点,则PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆,必与A1A2所在的直线切于A2(或A1).证明:设旁切圆切轴于,切于M,F1P
2、于N,则,与A2重合.(四)椭圆(abo)的两个顶点为,,与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时,A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.证明:设交点,又 ,即轨迹方程为(五)若在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是.证明:对求导可得:,切线方程为即,即,(六)若在椭圆外 ,则过P0作椭圆的两条切线,切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是.证明:设,则过点切线分别为在上,过P1,P2方程(七)AB是椭圆的不平行于对称轴且不过原点的弦,M为AB的中点,则.证明:设则又(八)若在椭圆内,则被P0所平分的中点弦的方程是.证法1:由上题的结论得:,弦AB方程为若在椭圆内,则过P0的弦中点的轨迹方程是.证法
3、2:设弦交椭圆于,中点.即.(九)过椭圆 (a0, b0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且(常数).证明:设两直线与椭圆交于点.由题意得,展开 得:(定值)(十)椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1,F 2,点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则椭圆的焦点三角形的面积为;。证明:设,则.由余弦定理,.(十一) 若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ,则.证明:设 ,又 由、得:(十二)椭圆(ab0)上存在两点关于直线:对称的充要条件是.分析:该问题等价于在椭圆上找两点,过这两点直线,斜率为,其中垂线为则。证明:设方程为即,中点为得 代入,又0,注:还可以用点差法.(十三)已知椭圆( ab0)和( ),一直线顺次与它们相交于A、B、C、D四点,则AB=|CD.证明:设直线方程为,视作的特殊情况.弦中点坐标与无关.而与无关.线段中点重合.(十四)已知椭圆,A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.证明:设A为B为(十五)已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点,则椭圆的离心率。证明: 由正弦定理得:由等比定理得:而,。(十六)已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点中则证明:设则在中,由余弦定理得: 命题得证。