《高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算理（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理1导数与导函数的概念(1)一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作，即f(x0) .(2)如果函数yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数yf(x)在开区间内的导函数记作f(x)或y.2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)s
2、in xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)f(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积【知识拓展】1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2
3、.(f(x)0)3.af(x)bg(x)af(x)bg(x)4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()1(教材改编)若f(x)xex，则f(1)等于
4、()A0 Be C2e De2答案C解析f(x)exxex，f(1)2e.2如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案D解析由yf(x)的图象知yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除A，C.又由图象知yf(x)与yg(x)的图象在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.3某质点的位移函数是s(t)2t3gt2(g10 m/s2)，则当t2 s时，它的加速度是()A14 m/s2 B4 m/s2C10 m/s2 D4 m/s2答案A
5、解析由v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，当t2时，a(2)v(2)1221014.4设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)f()sin xcos x，则f() .答案解析因为f(x)f()sin xcos x，所以f(x)f()cos xsin x，所以f()f()cossin，即f()1，所以f(x)sin xcos x.f(x)cos xsin x.故f()cossin.5曲线y5ex3在点(0，2)处的切线方程是 答案5xy20解析因为y|x05e05，所以曲线在点(0，2)处的切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.题型一导数的计算例1求下列函数的导数(1)
6、yx2sin x；(2)yln x；(3)y；(4)ysin(2x)；(5)yln(2x5)解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(ln x)(ln x)().(3)y().(4)设u2x，则ysin u，则y(sin u)ucos(2x)2y2cos(2x)(5)令u2x5，则yln u，则y(ln u)u2，即y.思维升华(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系
7、，由外向内逐层求导，必要时可换元(1)f(x)x(2 016ln x)，若f(x0)2 017，则x0等于()Ae2 B1Cln 2 De(2)若函数f(x)ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2C2 D0答案(1)B(2)B解析(1)f(x)2 016ln xx2 017ln x，故由f(x0)2 017，得2 017ln x02 017，则ln x00，解得x01.(2)f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.题型二导数的几何意义命题点1求切线方程例2(1)(2016全国丙卷)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ln(x)3x，则曲线yf(
8、x)在点(1，3)处的切线方程是 (2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10答案(1)2xy10(2)B解析(1)设x0，则x0，f(x)ln x3x，又f(x)为偶函数，f(x)ln x3x，f(x)3，f(1)2，切线方程为y2x1，即2xy10.(2)点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.故选B.命题点2求参数的值例3(1)(2016泉州模拟)
9、函数yex的切线方程为ymx，则m .(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m等于()A1 B3 C4 D2答案(1)e(2)D解析(1)设切点坐标为P(x0，y0)，由yex，得从而切线方程为又切线过定点(0,0)，从而解得x01，则me.(2)f(x)，直线l的斜率kf(1)1.又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.故选D.命题点3导数与函数图象的关系例4如图，点A(2,1
10、)，B(3,0)，E(x,0)(x0)，过点E作OB的垂线l.记AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数Sf(x)的图象为下图中的()答案D解析函数的定义域为0，)，当x0,2时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越大，即斜率f(x)在0,2内大于0且越来越大，因此，函数Sf(x)的图象是上升的且图象是下凸的；当x(2,3)时，在单位长度变化量x内面积变化量S大于0且越来越小，即斜率f(x)在(2,3)内大于0且越来越小，因此，函数Sf(x)的图象是上升的且图象是上凸的；当x3，)时，在单位长度变化量x内面积变化量S为0，即斜率f(x)在3，)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的
11、射线思维升华导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢(1)(2017郑州月考)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A3 B2 C1 D.(2)(2016昆明模拟)设曲线y在点(，1)处的切线与直线xay10平
12、行，则实数a等于()A1 B. C2 D2答案(1)A(2)A解析(1)设切点的横坐标为x0，曲线y3ln x的一条切线的斜率为，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)y，由条件知1，a1.3求曲线的切线方程典例若存在过点O(0,0)的直线l与曲线yx33x22x和yx2a都相切，求a的值错解展示现场纠错解易知点O(0,0)在曲线yx33x22x上(1)当O(0,0)是切点时，由y3x26x2，得y|x02，即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y2x.由得x22xa0，依题意44a0，得a1.(2)当O(0,0)不是切点时，设直线l与曲线yx33x22x相切于点P(x0，y0)，则y0x3x2x0，3x6x02，又kx3x02，联立，得x0(x00舍去)，所以k，故直线l的方程为yx.由得x2xa0，依题意，4a0，得a.综上，a1或a.纠错心得求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1若f(x)2xf(1)x2，则f(0)等于()A2 B0 C2 D4答案D解析f(x)2f(1)2x，令x1，则f(1)2f(1)2，得f(1)2，所以f(0)2f
