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1、非线性电路理论报告Duffing方程的混沌现象仿真与分析摘要： Duffing方程是非线性理论中常用的代表性微分方程，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程，特别是电工领域的一些问题的研究有重要的意义。本文对于不同情况下的Duffing方程的混沌现象，利用MATLAB软件对方程进行模拟仿真与分析，对于Duffing方程的混沌现象有更深入系统的认识。关键词： Duffing方程；Matlab仿真；混沌1 引言混沌系统对微弱信号具有极强的敏感性同时对噪声具有极大的抑制能力，它的这种性质证明了混沌系统具有可应用于
2、小信号检测的潜力，从检测过程中分析混沌运动发生的间歇性。Duffing方程是一个在混沌系统小信号检测中被广泛使用的一个典型的非线性方程，即存在于噪声中的信号可以被Duffing振子通过从混沌运动状态到周期振荡状态的改变测试出来。本文用MATLAB对Duffing方程进行模拟分析，找出系统在各种参数下的运动状态，为基于Duffing振子的小信号检测提供研究基础。Duffing方程是描述共振现象、调和振动、次调和振动、拟周期振动、概周期振动、奇异吸引子和混沌现象(或随机过程)的简单数学模型。因此，在非线性振动理论中研究Duffing方程具有重要的意义。它的标准形式为:其中，为阻尼系数。g(x)是含
3、有三次方项的非线性函数，f(x,t)为一周期函数。Duffing方程通常作如下分类：(1) 假设g(x)满足超线性条件:则称Duffing方程是超线性的;(2) 假设g(x)满足次线性条件:则称Duffing方程是次线性的;(3) 假设g(x)满足半线性条件: 则称Duffing方程式半线性的。若将Duffing方程规范化，有以下四种基本类型：1)2)3)4)其中，类型1为硬特性Duffing方程；类型2和4成为软特性Duffing方程；类型3称为日本型，日本学者上田研究较多，并发现了日本吸引子，也称为Ueda吸引子；美国科学家P.Holmes对类型4的Duffing方程进行了深入的研究，因此
4、类型4也称为P.Holmes型Duffing方程。Duffing方程系统是一个典型的非线性振动系统，尽管是从简单物理模型中得出来的非线性振动模型，但是其模型具有代表性。工程实际中的许多非线性振动问题的数学模型都可以转化为该方程来研究，如船的横摇运动、结构振动、化学键的破坏等，横向波动方程的轴向张力扰动模型，转子轴承的动力学方程也与Duffing系统基本相似，另外Duffing系统也非常广泛地被应用到实际工程中，例如尖锐碰摩转子的故障检测、微弱周期信号检测、电力系统周期振荡分析、周期电路系统的模拟与控制等。关于Duffing系统还有许多问题尚未彻底研究清楚，如Duffing方程的分数谐波振动、超
5、谐波振动、组合振动等等，而且研究结果中规律性的成果可以推广到其他类似系统。因此从某种角度来说，对非线性Duffing系统的研究是研究许多复杂动力学系统的基础。2 典型的Duffing方程的具体形式典型的Duffing方程的具体形式为：其中x(t)和x(t)为状态变量，rcos(t)为周期驱动力，M为阻尼比，-x(t)+x3 (t)为非线性恢复力。一般为了便于对系统的分析，同时达到降阶的目的，将系统描述如下：在时域中，用x(t)-t或x(t)-t关系曲线描述状态变量x(t)或x(t)随时间t的变化规律称为时序图。以x(t)为横轴和x(t)为纵轴所构成的平面称为相平面。在相平面上做x(t)-x(t
6、)关系曲线，表征系统状态的相点（x(t)，x(t)）随时间变化的轨迹称为相迹图。3 仿真计算的一般步骤只含有一个自变量的微分方程为常微分方程。它或者没有解析解，或者求取解析解的代价无法忍受，或者只有数值解。MATLAB为解决常微分方程提供了一组配套齐全、结构严谨的命令，对于Duffing方程求解主要解决初值为他，一般采用龙格-库塔法计算。对于N阶微分方程初值问题，由于函数及其直至(N-1)阶导数在某自变量点的值已知，所以由泰勒级数展开可以算出新的函数及导数值。在MATLAB具体利用其命令来解初值问题，步骤如下：1.根据在工程实际中各学科的规律，定理和公式列出微分方程和相应的初始始条件；2.运用
7、变量替换，把一个高阶方程写成一阶微分方程组，初始条件也要做相应的替换；3.根据变换后的一阶微分方程组，编写计算导数的M文件；4.使编好的ODE函数文件和变换后的初值供Yo微分方程解算命令调用，运行后即可得到Y(包含y及其导数)在指定时间区间上的数值解。4 对于基于Duffing方程的混沌现象仿真与分析MATILAB中的Simulink是一个动态系统建模仿真和分析的软件包，它是一种基于MATLAB的框图设计环境，支持线性系统和非线性系统，可以用连续采样时间、离散采样时间或两种混合的采样时间进行建模，它也支持多速率系统，也就是系统中的不同部分具有不同的采样速率。Simulink中包括许多实现不同功
8、能的模块库，选择不同的模块建模就能模拟出不同的系统。Duffing方程的仿真模型图如图1所示。系统状态对幅值r有很强的敏感性。幅值r取值不同，系统呈现不同的状态简述如下:1r=0时，稳定状态其相平面上相点的相迹图有稳定终止点。终止点为(1，0)或(-1，0)，称(l，0)和(-1，0)为焦点。现以相平面起始相点(1，0.5)为例，其随时间t变化的轨迹并最终趋于焦点(1，0)的相迹图如下所示。在状态变量X随时间t变化时序图中，x(t)最终稳定在x(t)=1状态。2. 0rr3时，小周期运动状态驱动力幅值在此范围内的特征是相平面中相点轨迹为包围一个焦点(1，0)的封闭圆环，又因相点只围绕一个焦点做
9、周期运动，故称小周期运动。因幅值r不同，相迹图的封闭圆环数量也不同，时序图中x(t)取值在1的上下波动。1)0rr1时，1周期小周期运动状态相迹图包围焦点(1，0)的封闭圆环数为1，下图分别为r=0.3时的1周期小周期相迹图与时序图。2)1rr2时，2周期小周期运动状态相迹图包围焦点(1，0)的封闭圆环数为2，如下分别为r=0.35时的2周期小周期相迹图与时序图。3)2rr3时，多周期小周期运动状态r在此范围内时，系统运动状态极其复杂。相迹图包围焦点(1，0)的封闭圆环数既可能有3，5，7，奇数个，也可能有2n偶数个，分别称为3，5，7，周期小周期运动，或倍周期分又运动。如下分别为r=0.35
10、57时，3周期小周期相迹图与时序图。如下分别为r=0.3579时，4周期小周期相迹图与时序图。33rrrc时，大周期运动状态r值在此范围内时，系统运动状态更加复杂。其特征是相平面中相点轨迹为包围两个焦点(1，0)和(-1，0)的封闭圆环，又因相点围绕两个焦点做周期运动，故称大周期运动。在时序图中，x(t)取值时而在1上下波动，x(t)取值时而在-1上下波动。下图为r=0.51，3周期大周期相迹图与时序图。4rcrd时，混沌状态其特征是相平面中相点轨迹时而围绕焦点(1，0)，时而围绕焦点(-1，0)，时而将两个焦点统统围住做周期运动，且上述三种围绕方式围绕的次数是随机的，所以呈现复杂的运动。这种
11、现象就称为混沌现象。其状态变量x(t)取值时而在1上下波动，时而在-1上下波动，时而在超越1与-1之间大幅度波动。下图分别为r=0.78时，混沌状态相迹图与时序图。5r=0.82761为临界状态的相迹图与时序图如下所示。6rcrr4时，单一大周期运动状态r4可以在很大范围内取值，其特征是相平面中相点轨迹为包围焦点(1，0)和(-1，0)的单一封闭圆环，故称为单一大周期运动。时序图中状态变量x(t)在超越1与-1之间有规律的大幅波动。下图为r=0.9时单一大周期运动状态的相迹图与时序图。5 结语本文对非线性动力学系统中典型的Duffing方程进行了研究，使用Matlab软件对系统进行仿真，研究Duffing方程对不同系统参数的响应，从而对非线性系统的运动本质和混沌状态有一定的认识。参考文献1 张静，韩仿仿. 杜芬振子的仿真分析 ,科技广场2007，(9)2 李卫东，王秀岩. 杜芬方程的仿真分析及混沌控制，大连交通大学学报2009，30(5)3 黄胜伟. Duffing振子强迫振动的混沌特性仿真分析，力学与实践，2004年24卷4 张健. 基于混沌的频率测量方法及仿真研究, 哈尔滨理工大学硕士学位论文5 王海波. Duffing方程非线性振动特性的计算与分析, 西安建筑科技大学硕士学位论文 （注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）
