高等代数习题

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1、细心整理高等代数习题第一章 根本概念 1.1 集合 1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合Z是不是X的子集？ 2、设a是集A的一个元素。记号a表示什么？ a A是否正确？ 3、设 写出 和 . 4、写出含有四个元素的集合 的一切子集 5、设A是含有n个元素的集合A中含有k个元素的子集共有多少个？ 6、以下论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进展改正 (i) (ii) (iii) (iv) 7证明以下等式： (i) (ii) (iii) 1.2映射 1、设A是前100个正整数所成的集合找一个A到自身的映射，但不是满射 2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射 3、 是

2、不是全体实数集到自身的映射？ 4设f定义如下： f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？ 5、令A=1,2,3.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？ 6、设a ,b是随意两个实数且ab.试找出一个0,1到a ,b的双射. 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，fg及gf一般不相等。 8、设A是全体正实数所成的集合。令 (i)g是不是A到A的双射？ (ii)g是不是f的逆映射？ (iii)假如g有逆映射，g的逆映射是什么？ 9、设 是映射，又令 ，证明 (i)假如 是单射，那么 也是单射； (ii)假如 是满射，那么 也是满射； (iii)假如 都是双射，那么

3、 也是双射，并且 10判定以下规那么是不是所给的集合A的代数运算: 集 合 A 规 那么 1 2 3 4 全体整数 全体整数 全体有理数 全体实数 1.3数学归纳法 1、证明: 2、设是一个正整数.证明 , 是随意自然数. 3、证明二项式定理:这里 ， 是 个元素中取 个的组合数. 4、证明其次数学归纳法原理. 5、证明,含有 个元素的集合的一切子集的个数等于。1.4整数的一些整除性质 1、对于以下的整数 ,分别求出以 除 所得的商和余数: ; ; ; . 2、设是整数且不全为0,而 , , .证明, 的一个最大公因数必要且只要 . 3、设是不等于零的整数.满足以下两个条件的正整数叫做及的最小

4、公倍数: ; 假如 且 ,那么 .证明: 随意两个不等于零的整数 都有唯一的最小公倍数; 令 是 及 的最小公倍数而 ,那么 . 4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于随意整数 ,假如 ,那么 或 .证明, 是一个素数(定理的逆命题). 5、设是两两不一样的素数,而 . 证明 ; 利用 证明,素数有无限多个 1.5数环和数域 1证明,假如一个数环 那么 含有无限多个数 2证明, 是数域 3证明, 是一个数环, 是不是数域? 4证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环? 5设是一整数,令 由例1, 是一个数环.设 ,记 证明: 是一个数环 ,这里 是

5、 及 的最大公因数 其次章 多项式 2.1一元多项式的定义和运算 1设 和 是实数域上的多项式证明：假设是 (6) ，那么 2求一组满足6式的不全为零的复系数多项式 和 3证明： 2.2 多项式的整除性 1求 被 除所得的商式和余式： ( i ) (ii) 2证明： 必要且只要 3令 都是数域F上的多项式，其中 且 证明： 4实数 满足什么条件时，多项式 能够整除多项式 5设F是一个数域， 证明： 整除 6考虑有理数域上多项式 这里 和 都是非负整数证明： 7证明： 整除 必要且只要 整除 2.3 多项式的最大公因式 1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) (ii) 2. 设 证明

6、：假设 且 和 不全为零，那么 反之，假设 那么 是 及 的一个最大公因式 3. 令 及 是 的多项式，而 是 中的数，并且 证明： 4 证明： i 是 和 的最大公因式； ii 此处 等都是 的多项式。 5 设 都是有理数域Q上的多项式。求 使得 6 设 令 是随意正整数，证明： 由此进一步证明，对于随意正整数 ，都有 7 设 证明： 8 证明：对于随意正整数 都有 9 证明：假设是 及 互素，并且 及 的次数都大于0，那么定理 里的 及 可以如此选取，使得 的次数低于 的次数， 的次数低于 的次数，并且这样的 及 是唯一的。 10 确定 ，使 及 的最大公因式是一次的。 11 证明：假如

7、那么对于随意正整数 ， 12 设 是数域F上的多项式。 及 的最小公倍式指的是Fx中满足以下条件的一个多项式 ：且 ； 假如 Fx且 ，那么 证明：Fx中随意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差异外，是唯一的。 设 都是最高次项系数是1的多项式，令 表示 和 的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明 13 设 并且 证明： 14 设 证明： 互素的充要条件是存在多项式 使得 15 设 令 比照定理，证明： 有最大公因式提示：假如 不全为零，取 是I中次数最低的一个多项式，那么 就是 的一个最大公因式 2.4 多项式的分解 1. 在有理数域上分解以下多项式为不行约多项式的乘积：

8、2. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式 为不行约因式的乘积. 3. 证明： 当且仅当 4. 求 在 内的典型分解式； 求 在 内的典型分解式 5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式 是 中某一不行约多项式的幂的充分且必要条件是对于随意 或者 或者存在一个正整数 使得 6设 是 中一个次数大于零的多项式.假如对于随意 只要 就有 或 那么 不行约. 2.5 重因式 1. 证明以下关于多项式的导数的公式： 2. 设 是 的导数 的 重因式.证明： 未必是 的 重因式； 是 的 重因式的充分且必要条件是 3. 证明有理系数多项式 没有重因式. 4. 应当满足什么条件，以下的有理系数多项式

9、才能有重因式？ 5. 证明：数域F上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分且必要条件是 ， 这里的 是F中的数 。2.6 多项式函数 多项式的根 1设 ,求 . 2数环R的一个数 说是 的一个 重根,假如 可以被 整除,但不能被 整除.判定5是不是多项式 的根.假如是的话,是几重根? 3设 求 提示:应用综合除法 4将以下多项式 表成 的多项式. ; . 5求一个次数小于4的多项式 ,使 6求一个2次多项式,使它在 处及函数 有一样的值. 7令 是两个多项式,并且 可以被 整除. 证明 8令 是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令 证明: 在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ,使

10、得 中每一多项式 都可以写成 的形式,这里 .在 中不行约. 假如 ,求上述的 提示:取 是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式. 9设 中多项式 且 , 是一个大于1的整数. 证明: 的根只能是零或单位根. 提示:假如 是 的根,那么 都是 的根. 2.7 复数和实数域上多项式 1设 次多项式 的根是 .求 以 为根的多项式,这里 是一个数。 ii以,(假定 都不等于零)为根的多项式.2设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明: 假设是g ,那么 ; 假设是 是 和 的一个最大公因式,并且 的最高次项系数是1,那么 是一个实系数多项式). 3给出实系数四

11、次多项式在实数域上全部不同类型的典型分解式. 4在复数和实数域上,分解 为不行约因式的乘积. 5证明:数域F上随意一个不行约多项式在复数域内没有重根. 2.8 有理数域上多项式1证明以下多项式在有理数域上不行约: ; ; . 2利用艾森斯坦判定法,证明:假设是 是 个不一样的素数而 是一个大于1的整数,那么 是一个无理数. 3设 是一个整系数多项式.证明:假设是 和 都是奇数,那么 不能有整数根.4求以下多项式的有理根: ; ; . 第三章 行列式3.1 线性方程组和行列式 3.2 排列1计算以下排列的反序数： 523146879； 2假设n个数码的排列 的反序数是k,那么排列 的反序数是多少

12、？ 3写出4个数码的一切排列 3.3 阶行列式 1确定六阶行列式 D= 中以下各乘积的符号： 2写出以下四阶行列式 中一切带有负号且含元素 的项。 3证明： 阶行列式 4考察以下行列式： ， ， 其中 是 这 个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？ 5计算 阶行列式 6计算行列式 7证明：行列式 8设在 阶行列式 中，3.4 子式和代数余式 行列式的依行依列绽开 1把行列式 依第三行绽开，然后加以计算 2计算以下行列式: 提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。 3令 计算行列式 。 3.5 克拉默规那么 1解以下线性方程组： 2设 是 个不同的数, 是随意 个

13、数,而多项式 有以下性质: , .用线性方程组的理论证明, 的系数 是唯一确定的,并且对 的情形导出拉格朗日插值公式. 3设 .用线性方程组的理论证明,假设是 有 个不同的根,那么 是零多项式. 第四章 线性方程组4.1 消元法 1解以下线性方程组： 2证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行假设干次其次和第三种行初等变换。 3设 阶行列式 0. 证明：用行初等变换能把 行 列矩阵 化为 。 4证明：在前一题的假设下，可以通过假设干次第三种初等变换把 化为 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 1对第一和其次种行初等变换证明定理 2利用初等变换求以下矩阵的秩： 3证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1 4证明：含有 个未知量 个方程的线性方程组 有解的必要条件是行列式 这个条件不是充分的，试举一反例 5 有解？ 6 取怎样的数值时，线性方程组 有唯一解，没有解，有无穷多解？ 4.3 线性方程组的公式解 1考虑线性方程组：这里 2