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1、用Excel求解矩阵特征值与特征向量1引言求矩阵的特征值和特征向量是一个既基础又重要的数值计算问题。通常我们可以用编写高级语言程序的方法加以解决，也可以使用专门的数学软件(如MATLAB等)来实现。本文给出的用Excel实现求矩阵的特征值和特征向量的方法，既不需要设计程序，也不需要专门的数学软件，只须在Excel中进行简单操作，就可以快速、直观地得到实矩阵的特征值和特征向量，且计算结果具有较高的精度。2在Excel中利用数组公式和数组常量建立并命名矩阵在Excel中，可以在一个单元格区域内通过逐个输入矩阵的各个元素来建立矩阵，还可以使用数组公式和数组常量更加方便地建立矩阵1。例如，可以通过下列
2、操作建立矩阵：(1) 在Excel的工作表Sheetl中，选择单元格区域A1:D4；(2) 输入公式：=2,-1,0,0;-1,2,-1,0;0,-1,2,-1;0,0,-1,2(顺便指出：在Excel的数组公式中，将矩阵元素用大括号括起来称为数组常量，其中不同列的元素用逗号隔开，不同行的元素用分号隔开。参见文献1)；按Ctrl+Shift+Enter键，结束数组公式的输入，形成图1所示的矩阵。建立了矩阵之后，在Excel的数组公式中，就可以用矩阵所在的单元格区域A1:D4表示该矩阵；但若将该矩阵命名为A显然更便于使用，也便于理解公式的含义，方法如下：选择该矩阵所在的单元格区域A1:D4；单击
3、编辑栏左端的“名称”框，输入A，按回车键确认，如图2所示。此后，在当前工作薄的所有工作表中，就可以使用名称A在数组公式中代表该矩阵。尤其需要指出的是：通过对矩阵命名，不仅能方便地实现跨工作表引用单元格区域，而且更重要的是：在复制公式时，Excel将名称(如A)按常量对待，所以更便于矩阵的运算和使用。类似地，我们还可以在单元格区域F1:I4中通过输入数组公式:=1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1建立4阶单位矩阵，并命名为I。3利用Excel求矩阵的特征值由于矩阵A的特征值入就是特征方程det(A-XI)的根，因此可以利用Excel工具菜单中的“单变量求解”命令求矩阵的
4、特征值。例如，上述矩阵A在0.4附近的特征值的求解方法如下：(1) 在A6单元格中输入值0.4；(2) 在B6单元格中输入公式：=MDETERM(A-A6*I)=0,其中MDETERM为Excel提供的求矩阵行列式的函数；(3) 按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式：=MDETERM(A-A6*I)，于是B6单元格中的值0.1264即为特征多项式在的值；(4) 单击“工具”菜单中的“单变量求解”命令，打开“单变量求解”对话框；(5) 在“目标单元格(E)”中输入或选择B6,在“目标值(V)”中输入0，在“可变单元格(C)”中输入或选择A6；(6) 单击“确定”按钮。此时，A6单元
5、格中的值0.381966011就是矩阵A在0.4附近特征值的近似值(顺便指出：在Excel选项”对话框的“重新计算”选项卡中，通过设置“迭代计算”栏还可控制计算精度)。4求特征值对应的特征向量在此我们介绍如何利用数值计算中的逆幂法2，求特征值所对应的特征向量。所谓逆幕法，就是取A的特征值Xi的一个近似值儿并取非零初始向量X0,按迭代公式：(其中符号卜M代表向量的按模最大分量，即)进行迭代，当相邻两次迭代，Xk-1,Xk近似成比例时，则Xk即为矩阵A对应于特征值Xi的近似特征向量。例如，为求上例矩阵A的特征值X=0.381966011对应的特征向量，我们取近似特征值为0.38,并取初始向量为(1
6、丄1,1),使用逆幕法进行迭代可以在Excel中进行如下操作：(1) 在工作表Sheet2中，先在单元格区域A1:A4中输入1,1,1,1形成初始向量X0；(2) 选择单元格区域B1:B4，输入公式：=MMULT(MINVERSE(A-0.38*I),A1:A4)，按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式计算出Y1(注：其中MINVERSE,MMULT分别为Excel提供的计算逆矩阵和计算两个矩阵乘积的函数)；(3) 在B5单元格中输入公式：=MAX(ABS(B1:B4),按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式计算出IIY1血；选择单元格区域C1:C4，输入公式：=B1:
7、B4/B5,按Ctrl+Shift+Enter键，形成数组公式计算出逆幕法迭代一次后的向量X1=(0.618321,1,1,0.618321)；(5)选择B1:C5单元格区域，向右拖动C5右下角的填充柄，即得逆幕法的迭代序列，如下图：从上图可以看出：用逆幕法迭代3次,可得A的对应于近似特征值X=0.381966011的近似特征向量为(0.618033989,1,1,0.618033989)。若与A的相应精确特征值X=2-2cos(n/5)=0.3819660112和特征向量(sin(n/5)/sin(2n/5),1,1,sin(n/5)/sin(2n/5)=(0.6180339887.,1,1
8、,0.6180339887.)相比较，显然已具有较高的精度。5结束语开发Excel的强大计算功能用于求解数值计算问题3,4，既不需要设计程序，也不需要专门的数学软件，而且计算精度控制方便，操作简单，同时注意到Excel软件在各类计算机上随处可见，这不仅为课堂教学，而且也为解决工程计算问题提供了极大的便利。参考文献：卢秋根.中文版Office应用基础教程M.上海:上海科学普及出版社,2005年9月第1版,151-152.2李庆杨，王能超，易大义.数值分析M.北京:清华大学出版社,2001年8月第4版,308-312.彭海静.基于Excel求高次方程的解J.计算机应用与软件,2006,23(2):142-144.4杨明波，卢建立在Excel中实现用牛顿法求解非线性方程组J.电脑学习,2006,4,62-63.本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
