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1、概率统计第一讲随机事件和概率考试要求：数学一、三、四要求一致。了解： 样本空间的概念理解： 随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验掌握： 事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算会计算：古典概率和几何型概率。1 随机事件与样本空间一、 随机试验：（1）可重复 （2）知道所有可能结果 （3）无法预知二、样本空间试验的每一可能结果样本点所有样本点全体样本空间三、 随机事件样本空间的子集随机事件 样本点基本事件， 随机事件由基本事件组成。如果一次试验结果，某一基本事件出现发生，出现如果组成事件的基本事件出现发生，出现必然
2、事件 不可能事件2 事件间的关系与运算一事件间关系包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立二事件间的运算： 并，交，差运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律概率定义，集合定义，记号，称法，图 三事件的文字叙述与符号表示例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用表示事件：“第i次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：（1）； （2）；（3）； （4）；再用表示下列事件：(5)都取到正品； (6)至少有一件次品；(7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式一公理化定义 (1)(2)(3)二性质(1)（2）(3)(4)(5)三条件概率与事件独立性(1)事件发
3、生条件下事件发生的条件概率；(2)事件独立，独立独立独立独立；时,独立；(3)称相互独立,(个等式)相互独立两两独立。四五大公式(1)加法公式：(2)减法公式：(3)乘法公式：时，(4)全概率公式：是完全事件组，且，(5)贝叶斯公式：是完全事件组，4 古典型概率和伯努利概率一古典型概率二几何型概率三独立重复试验独立各试验间事件独立，重复同一事件在各试验中概率不变四伯努利试验试验只有两个结果伯努利试验重伯努利试验二项概率公式 5 典型例题分析例1.设为两事件，且满足条件，则_ .例2.为任意两事件，则事件等于事件例3随机事件，满足和 则有例4设且 则必有例5(06)设、为随机事件，且，则必有例6
4、试证对任意两个事件与，如果，则有）例7有两个盒子，第一盒中装有2个红球，1个白球；第二盒中装一半红球，一半白球，现从两盒中各任取一球放在一起，再从中取一球，问：（1） 这个球是红球的概率；（2） 若发现这个球是红球，问第一盒中取出的球是红球的概率。例8假设有两箱同种零件：第一箱装50件，其中10件一等品；第二箱装30件，其中18件一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零（不放回）试求：（1）先取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍为一等品的条件概率.例9袋中装有个白球和个黑球，分有放回和无放回两种情况连续随机每次一个地抽取，求下列
5、事件的概率：（1） 从袋中取出的第个球是白球（2） 从袋中取出个球中，恰含个白球和个黑球例10随机地向半圆（其中，是常数）掷一点，则原点和该点的连线与轴的夹角小于的概率为_。例11在伯努利试验中，每次试验成功的概率为，求在第次成功之前恰失败了次的概率。例12四封信等可能投入三个邮筒，在已知前两封信放入不同邮筒的条件下，求恰有三封信放入同一个邮筒的概率为_。例13已知三事件中相互独立，则三事件 相互独立 两两独立，但不一定相互独立 不一定两两独立 一定不两两独立例1410台洗衣机中有3台二等品，现已售出1台，在余下的9台中任取2台发现均为一等品，则原先售出1台为二等品的概率为例15甲袋中有2个白
6、球3个黑球，乙袋中全是白球，今从甲袋中任取2球，从乙袋中任取1球混合后，从中任取1球为白球的概率例1610件产品中含有4件次品，今从中任取两件，已知其中有一件是次品，求另一件也是次品的概率。例17两盒火柴各根，随机抽用，每次一根，求当一盒用完时，另一盒还有根的概率。例18（05）从数1，2，3，4中任取一个数，记为，再从1，2，中任取一个数记为，则_。第二讲随机变量与其概率分布考试要求：理解：离散型和连续型随机变量，概率分布，分布函数，概率密度掌握： 分布函数性质：0-1分布，二项分布，超几何分布，泊松分布，均匀分布，正态分布，指数分布与它们的应用会计算： 与随机变量相联系的事件的概率，用泊松
7、分布近似表示二项分布，随机变量简单函数的概率分布。数学一，了解；数学三、四，掌握：泊松定理结论和应用条件1 随机变量与其分布函数一随机变量样本空间上的实值函数，。常用表示二随机变量的分布函数对于任意实数，记函数，称为随机变量的分布函数；的值等于随机变量在取值的概率。三分布函数的性质（1），记为；，记为。（2）是单调非减，即时，（3）是右连续，即（4）对任意，有（5）对任意，性质（1）（3）是成为分布函数的充要条件。例 设随机变量的分布函数为，其中是常数，求常数与。2 离散型随机变量和连续型随机变量一离散型随机变量随机变量和可能取值是有限多个或可数无穷多个。二离散型随机变量的概率分布设离散型随机
8、变量的可能取值是称为的概率分布或分布律分布律性质：（1）（2）分布律也可表示为三离散型随机变量分布函数，例1 求四连续型随机变量与其概率密度设的分布函数，如存在非负可积函数，有， 称为连续型随机变量，为概率密度。概率密度性质：（1）；（2）；（3），；（4）的连续点处有。例 已知和均为概率密度，则必满足3 常用分布一（01）分布 二二项分布. ， 三超几何分布 ，四泊松分布 ，例 设某段时间通过路口车流量服从泊松分布，已知该时段没有车通过的概率为，则这段时间至少有两辆车通过的概率为_。五均匀分布 例 设随机变量在上服从均匀分布，则方程有实根的概率是_。六指数分布 ，七正态分布 ，标准正态分布，
9、如果，则（1）（2）（3）（4），例 ，且，则_。4 随机变量的函数的分布一离散型随机变量的函数分布设的分布律，则的分布律，（如果一样值，取相应概率之和为取该值概率）二连续型随机变量的函数分布1公式法：的密度单调，导数不为零可导，是其反函数，则的密度为其中是函数在可能取值的区间上值域。2定义法： 先求然后。5 典型例题分析例1设随机变量的分布函数求的值。例2设随机变量的分布律为试确定常数的值。例3汽车沿街行驶需要过三个信号灯路口，各信号灯相互独立，且红绿显示时间相等，以表示汽车所遇红灯个数，求的分布与分布函数。例4（04）设随机变量服从正态分布，对给定的数满足，若，则等于例5在区间上任意投掷一
10、点，为这点坐标，设该点落在中任意小区间的概率与这小区间长度成正比，求的概率密度。例6，对进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。例7（06）设随机变量服从正态分布，服从正态分布 且，则必有例8的密度，试求常数。例9设服从参数为2的指数分布，证明：随机变量服从。例10已知的密度为，求的概率密度。例11设随机变量的密度满足，是的分布函数，则对任意实数有例12设随机变量的分布函数为，引入函数，和，则可以确定也是分布函数为例13设且，则_。例14设，则随的增大，概率 单调增大 单调减小 保持不变 非单调变化例15证明具有一样密度，则其分布函数一定满足。例16，且，求：（1）的概率密度；（2
11、）。第三讲多维随机变量与其概率分布考试要求理解：随机变量与其联合分布，离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布，连续型联合概率密度。边缘密度和条件密度，随机变量独立性和相关性。掌握：随机变量的联合分布的性质，离散型和连续型随机变量1 二维随机变量与其联合分布函数一二维随机变量设是定义在样本空间上的两个随机变量，则称向量为二维随机变量或随机向量。二二维随机变量的联合分布函数定义：，性质：（1）； （2），； （3）关于和关于单调不减； （4）关于和关于右连续。例1设二维随机变量的分布函数为，则随机变量的分布函数=_.三二维随机变量的边缘分布函数例2设二维随机变量的分布函数为试求2 二维离散型随机变
12、量一联合概率分布 性质：（1）（2）例 设随机变量在1，2，3三个数字中等可能取值，随机变量在中等可能的取一整数值，求的概率分布。二边缘概率分布，三条件概率分布， ，例 设分布律为，已知，求3 二维连续型随机变量一概率密度概率密度性质：（1） （2）例 ，则_。二边缘密度，三条件概率密度1条件分布2条件概率密度4 随机变量的独立性定义：对任意离散型连续型例1设随机变量相互独立，下表列出了二维随机变量的联合概率分布与关于的边缘概率分布的部分数值，将剩余数值填入表中空白处例2判断是否独立（1）（2） 5 二维均匀分布和二维正态分布一二维均匀分布，的面积例 设二维随机变量在平面上由曲线所围成的区域上服从均匀分
