《空间结构程序设计课件-第五章》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间结构程序设计课件-第五章（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章 桥梁结构空间稳定 极限承载力分析第一节 非线性有限元计算基本理论和公式 单拱面预应力混凝土系杆拱桥或斜拉桥稳定承载力计算需考虑几何非线性和材料非线性。对于非线性问题通常不能用一步求解方案，必须分成若干个加载步，按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，也就是采用增量求解方案，把一个非常复杂的非线性加载过程，分割成若干非线性程度不是十分严重的小段逐步求解，从而得出结构极限承载力。1,2,3,4为了描述时刻的平衡状态，对结构节点位移一般有两种描述方法，以t=0时刻状态为度量基准的完全拉格朗日(T.L)法和t=t时刻状态为度量基准的修正的拉格朗日(U.L)法。由于后者求解更为有效，在求解拱肋稳定承
2、载力时，多采用U.L方法。一、增量形式平衡方程 基本假定：结构在变形前、后的截面积和体积相同，大变形小应变，变形前垂直于中性轴的截面变形后仍为平截面。 将时刻t视为外荷载作用下有初应力的结构。 由t至时刻，外荷载增量为P1，应力增量为，应变增量为，位移增量为u；如图5-1-1。 则t至时刻结构的总势能增量 ( 5-1-1) 将应力增量，应变增量划分为线性与非线性两部分即： （5-1-2） (5-1-3) 又 （5-1-4) 图5-1-1 空间梁元的位形及局部坐标系 以t时刻位形为参考态，时刻的格林应变即为格林应变增量，其中线性和非线性部分可写成下式： (5-1-5) (5-1-6) 将式5-1
3、-2至5-1-4代入5-1-1式并略去，高阶项得： (5-1-7) 由势能驻值原理，则U.L法描述的平衡方程： (5-1-8) 上式中 增量应力一定变材料特性张量 线性应变增量张量 t时刻柯西应力张量 非线性应变增量张量 为时刻外荷载向量式5-1-8即为三维连续体U.L列式的增量平衡方程。将结构进行有限元离散，由左边第一项即可得到弹性或弹塑性刚度矩阵，由第二项可得出几何刚度矩阵，又称初应力矩阵，右边第一项为时刻外荷载等效节点力向量，第二项为t时刻初应力引起的等效节点力向量。二、非线性问题的有限元方程 (一) 单元截面增量位移描述 根据式5-1-8增量形式的平衡方程，把结构进行离散，从而得到U.
4、L列式非线性有限元基本方程，对于图5-1-1所示两节点梁元t至时刻的增量，用u，v，w表示x，y，z轴的位移，表示截面扭转角，则截面上任一点的位移可描述为： 其中，为截面形心处位移增量。 为绕x，y，z轴的转角增量。 (二) 增量位移应变关系 对于一维空间梁单元，只有，三个应变分量，其余分量均为0，在进行杆系结构非线性有限元分析时，若不考虑剪切变形的影响，则假定=0，由式5-1-5及5-1-6得： (5-1-9) (5-1-10) 一般说，高阶项对切线刚度的影响低于，高阶项的影响，所以忽略轴向位移高阶项后得： (5-1-11) (三) 单元位移模式 对空间梁元结点位移增量向量及节点力增量向量为
5、： 若梁单元任一点位移增量为，则当该位移用节点位移表示时，取单元位移模式 (5-1-12) 上式中各参数由节点位移边界条件确定，于是 (5-1-13) 其中N与第三章中第一节所述相同，将上式代入式5-1-10及式5-1-11得 (5-1-14) (四) 空间梁元U.L增量平衡方程 将式5-1-14代入式5-1-8，得到空间梁元U.L增量平衡方程 (5-1-15) 其中 (5-1-16) 当梁处于弹性时，即为单元弹性刚度矩阵，同3-1-7式，其显式同3-1-8式： (5-1-17) 为单元几何刚度矩阵。 (5-1-18) 为时等效节点力向量 (5-1-19)为初始不平衡修正力上述各式即为考虑几何
6、非线性的有限元方程，将单元局部坐标系下的各量进行转换，即可得到整体坐标下结构的有限元几何非线性基本方程，用牛顿拉夫逊方法即可求得几何非线性问题的结果。 若梁单元截面应力应变为非线性时，则=，即考虑材料非线性项，求解材料非线性问题的关键在于建立弹塑性刚度矩阵。第二节 钢筋混凝土结构弹塑性分析的内力塑性系数法一、截面内力塑性系数法原理 钢筋混凝土结构极限承载力分析需考虑几何非线性和材料非线性的影响，其几何非线性计算通过考虑有限变形的几何非线性关系来实现，对于钢筋混凝土梁元的材料非线性分析，一般应用分段线性法或折减刚度的办法5,6,7。由于混凝土材料抗拉强度低，工作阶段可能在受拉区开裂，梁元分块变刚
7、度法，在梁元中难以实现，所以一些大型分析程序如ADINA、ANASIS等都没有钢筋混凝土梁元的弹塑性分析功能8,9。为了解决钢筋混凝土梁元弹塑性刚度矩阵的计算问题，采用曾庆元教授等提出的截面内力塑性系数法，该法在计算钢压杆及钢斜拉桥弹塑性分析中获得了很大成功10,11，将该法用于钢筋混凝土结构分析更显现出其特点。 从力的概念来说，式5-1-15表示的单元平衡方程应是单元两端等效节点力与单元节点截面内力的平衡，单元材料随荷载变化而产生的弹塑性变化集中反映在其节点截面内力的降低，此种降低是相对于节点截面完全弹性时的内力而言的。若定义节点截面弹塑性内力与弹性内力的比值为截面内力塑性系数，由此系数来确
8、定梁单元塑性刚度矩阵。下面扼要介绍其过程。 当梁处在弹性阶段时，单元的增量平衡方程可表示为： (5-2-1) 上式中右端项为单元等效节点荷载，左端二项为单元截面抵抗力，上式表示单元节点截面抵抗力与单元等效节点荷载的平衡。若设单元外荷载只作用在节点上如图5-2-1，单元节点截面抵抗力向量可用节点荷载向量表示为： (5-2-2) 其中 图5-2-1 单元内力平衡 下标e表示时刻单元节点截面弹性内力。 当梁处在弹塑性工作阶段时，式5-2-2则表示时刻单元节点截面弹塑性内力，即 (5-2-3) 其中 若令弹塑性内力与弹性内力之比为截面内力塑性系数，则i端截面塑性内力系数为： 同理也可得j端截面内力塑性
9、系数。 则式5-2-3可表示为： (5-2-4) 其中单元截面内力塑性系数矩阵 又由5-2-2知 (5-2-5) 代入5-2-4得(5-2-6) 由对应项相等得 (5-2-7) (5-2-8) (5-2-9) 分析中直接计算几何刚度矩阵及等效节点力列阵比按式5-2-8及式5-2-9简便，可直接由积分求得，而在多次迭代计算中，只需算一次，计算比直接计算省时，故最后得梁元弹塑性增量平衡方程为： (5-2-10)二、空间梁元弹塑性刚度矩阵 由式5-2-10知，单元弹塑性刚度矩阵可表示为： (5-2-11) 由式3-1-7知为对称矩阵，而上式为非对称矩阵，为了保证弹塑性刚度矩阵的对称性，设各单元内由i
10、端至j端截面内力塑性系数是线性变化的即： (5-2-12) 将上式代入3.1.7式，则空间梁元弹塑性刚度矩阵为 (5-2-13) 若忽略剪切变形的影响 (5-2-14) 其中经上述变换后，式5-2-13则为对称矩阵，即钢筋混凝土梁元弹塑性刚度矩阵。三、材料模型 (一) 混凝土应力应变曲线 在计算截面的弹塑性内力时，根据截面上任一点应变状态，可以判断该点是否退出工作，然后由应力应变曲线求得该点应力，在截面上积分则得截面弹塑性内力，混凝土应力应变曲线采用RUSH曲线，如式5-2-15及图5-2-2。 图5-2-2 混凝土应力应变曲线 图5-2-3 钢筋应力应变曲线 时 (5-2-15) (二) 钢
11、筋应力应变曲线 钢筋应力应变曲线采用理想弹塑性曲线，不考虑钢筋的应力强化如图5-2-3 时 (5-2-16) 在进行结构弹塑性分析时，假定受拉区混凝土不参加工作，钢筋和混凝土之间没有滑移。四、拱稳定性分析的计算方法 前文已指出，以增量形式表示的计及初始不平衡效应的有限元公式为： (5-2-17) 式中： 为切线刚度矩阵 为增量节点位移 是基准荷载 是初始不平衡荷载 载荷增量参数 从结构失稳的载荷位移关系曲线可以发现，随着载荷的增加，结构的当前刚度参数也随之变化，所谓当前刚度参数是指与当前刚度矩阵有关的能量和与起始刚度矩阵有关的能量之比，当前刚度参数可以定义为： (5-2-18)式中上标i表示第
12、i个增量步，表示第i个增量步的载荷增量，表示第i个增量步的位移增量。 很显然，以后将逐步减小，到达极值点=0，这种外载与的关系如图5-2-4所示。在本程序中，让相邻两个增量步的载荷增量因子与其相对应的当前刚度参数成正比，即 (N2) (5-2-19) 因为，上式可以写为 (N1) (5-2-20)这样即形成了一种自动加载系统。 图5-2-4 当前刚度参数与临界力 由式5-1-17可知，如果非奇异，则给定载荷增量参数，即可采用某种迭代解法(本程序用修正的NewtonRaphson法)而求得增量位移。然而在极值点附近，如继续用上述方法，将无法得到收敛的结果。为此在极值点附近一个选定的区域里终止迭代，即认为结构已发生了极值点失稳。该区域的确定，可通过下述条件来实现： (5-2-21)式中是根据问题的需要而任意选定的正实数，一般可取0.1即可。 由上述可知，在计算中可采用下述两个原则来判定结构是否失稳： (1)奇异，但此时，此种情况多由物理非线性所致，属分叉型失稳。(2)，结构软化，此种情况多由物理非线性和几何非线性共同作用所致，属极值点型失稳。 算例1 两端铰支浅拱如图5-2-5所示为
