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1、中考复习二次函数综合应用类型一 线段、周长问题、(淄博23.(9分))已知,点M是二次函数y=ax2(0)图象上的一点,点F的坐标为(0,),直角坐标系中的坐标原点O与点M,在同一种圆上,圆心Q的纵坐标为(1)求a的值;(2)当O,,三点在同一条直线上时,求点M和点Q的坐标;()当点M在第一象限时,过点M作MNx轴,垂足为点N,求证:MF=+OF.【考点】二次函数的应用.菁优网版权所有【分析】()设Q(m,),F(0,),根据QO=Q列出方程即可解决问题.()设M(t,t2),Q(m,),根据OMKO,求出t、的关系,根据QO=QM列出方程即可解决问题.(3)设M(n,2)(n0),则N(n,
2、0),(,),运用勾股定理求出MF即可解决问题【解答】解:(1)圆心O的纵坐标为,设Q(m,),F(0,),QO=Q,2+()2=m2+()2,a=1,抛物线为y2()M在抛物线上,设(,2),Q(m,),O、Q、在同始终线上,KO=KOQ,=,m=,Q=Q,m2+()2=(mt)2=(t2)2,整顿得到:2+t4+tmt=0,t+3t21=0,(t+1)(4t2)0,t1=,t2,当t1=时,m1=,当t2=时,m2=1(,),Q1(,),M(,),(,)(3)设M(n,n2)(n0),N(,0),(0,),F=2,NOF=n2,F=MNOF【点评】本题考察二次函数的应用、三点共线的条件、勾
3、股定理等知识,解题的核心是设参数解决问题,把问题转化为方程解决,属于中考常考题型.2、(东营题12分)如图,直线yx+分别与轴、y轴交于B、C两点,点在x轴上,CB=90,抛物线=a2+x通过A,B两点.(1)求A、B两点的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)点M是直线B上方抛物线上的一点,过点作MB于点H,作轴交BC于点D,求M周长的最大值.【答案】()(1,0)()y=+x+(3) 【解析】试题分析:(1)由直线解析式可求得B、C坐标,在tBOC中由三角函数定义可求得OCB=6,则在RC中可得ACO=,运用三角函数的定义可求得A,则可求得A点坐标;(2)由A、两点坐标,运用待定系数法可求得
4、抛物线解析式;(3)由平行线的性质可知MDH=BO=60,在tDMH中运用三角函数的定义可得到D、MH与DM的关系,可设出点的坐标,则可表达出的长,从而可表达出DMH的周长,运用二次函数的性质可求得其最大值.=ta30=,即,解得=,学科网A(1,);(2)抛物线y=x2+通过A,B两点,,解得 ,抛物线解析式为y=x+x+;()MDy轴,MHBC,MDHBCO0,则M30,D,MH=M,DMH的周长D+MH=MD+D=DM,当M有最大值时,其周长有最大值,点是直线B上方抛物线上的一点,考点:1、二次函数的综合应用,2、待定系数法,3、三角函数的定义,4方程思想类型二 图形面积问题3、(烟台2
5、5题12分)如图,已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为(2,6),点B在y轴上,且ADBC轴,过B,C,D三点的抛物线y+bc(a0)的顶点坐标为(2,),点F(m,6)是线段D上一动点,直线OF交B于点E(1)求抛物线的体现式;()设四边形BEF的面积为S,祈求出S与m的函数关系式,并写出自变量的取值范畴;()如图2,过点F作FMx轴,垂足为M,交直线AC于,过点P作y轴,垂足为,连接MN,直线AC分别交轴,y轴于点H,,试求线段MN的最小值,并直接写出此时m的值.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)根据平行四边形的性质和抛物线的特点拟定出点D,然而用待定系数法拟定出抛物线的解析式(2)根
6、据ABCx轴,且A,BC间的距离为3,C,x轴的距离也为3,F(m,),拟定出E(,),从而求出梯形的面积.()先求出直线AC解析式,然后根据FMx轴,表达出点P(, ),最后根据勾股定理求出M,从而拟定出N最大值和的值【解答】解:()过B,C,三点的抛物线y=a2+bx+c(a0)的顶点坐标为(2,2),点的横坐标为4,BC=4,四边形BCD为平行四边形,AD=BC=4,A(,),D(6,6),设抛物线解析式为y=(2)2+,点D在此抛物线上,=a(2)2+2,a=,抛物线解析式为=(2)2+2x2x+3,(2)ADBCx轴,且A,C间的距离为3,C,轴的距离也为3,F(m,6)E(,),B
7、E=,S=(AF+B)3(2+)3=m点(m,)是线段AD上,m,即:=m3(2m6)(3)抛物线解析式为y=x2x+3,B(0,),C(4,3),A(2,6),直线AC解析式为y+,Fx轴,垂足为M,交直线AC于P(m,9),(2m6)N=m,PMm+9,轴,垂足为,交直线于P,过点作PNy轴,MPN90,MN=,当=时,MN最大=.4、(泰安28题)如图,在平面直角坐标系中,抛物线yax2+bx+c的顶点坐标为(2,),与y轴交于点A(,5),与x轴交于点、B(1)求二次函数y=ax2+x+c的体现式;(2)过点A作AC平行于轴,交抛物线于点,点为抛物线上的一点(点在AC上方),作PD平行
8、与y轴交AB于点D,问当点P在何位置时,四边形AP的面积最大?并求出最大面积;(3)若点M在抛物线上,点N在其对称轴上,使得以A、E、N、为顶点的四边形是平行四边形,且AE为其一边,求点M、的坐标【分析】(1)设出抛物线解析式,用待定系数法求解即可;(2)先求出直线A解析式,设出点P坐标(,x+4x+),建立函数关系式四边形APD=2x2+x,根据二次函数求出极值;(3)先判断出HNOE,求出M点的横坐标,从而求出点M,N的坐标【解答】解:(1)设抛物线解析式为y=a(x2)2+9,抛物线与y轴交于点A(,5),a+=,=1,y(x2)2+9=x2+4+,(2)当=时,24+5,1=1,25,
9、E(,0),B(,0),设直线AB的解析式为y=x+n,(0,5),B(5,0),m1,n=5,直线AB的解析式为yx5;设P(x,x4x+5),D(x,x+5),PD=x2+4x+5+x=xx,AC=4,S四边形APCDACD=2(x+5x)=2x+10,当x=时,四边形APCD最大,(3)如图,过M作MH垂直于对称轴,垂足为H,MNE,MN=AE,HNAO,M=E=1,M点的横坐标为x=或=,当=1时,M点纵坐标为8,当x=时,M点纵坐标为,M点的坐标为M1(1,8)或M2(3,8),(0,5),(,0),直线A解析式为y=5x+5,MN,的解析式为y=x,点在抛物线对称轴上,N(,+b)
10、,A2OA2+E2=MEN=A,MN2(21)8(10+)1+(+2)M点的坐标为M1(1,8)或2(3,),点M1,M2有关抛物线对称轴x=2对称,点N在抛物线对称轴上,1N=2N,1+(b+2)6,b=3,或=7,1b=或10+b=当点的坐标为(1,8)时,点坐标为(2,13),当点的坐标为(3,8)时,点坐标为(2,),【点评】此题是二次函数综合题,重要考察了待定系数法求函数关系式,函数极值额拟定措施,平行四边形的性质和鉴定,解本题的核心是建立函数关系式求极值类型四 特殊四边形的存在问题5.(烟台5题(3分))如图1,抛物线=ax+bx+2与x轴交于A,两点,与y轴交于点C,AB=,矩形
11、OBD的边CD=1,延长C交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)如图,点P是直线E上方抛物线上的一种动点,过点P作y轴的平行线交直线EO于点G,作PHE,垂足为H设PH的长为l,点P的横坐标为,求l与m的函数关系式(不必写出m的取值范畴),并求出的最大值;()如果点N是抛物线对称轴上的一点,抛物线上与否存在点M,使得以M,A,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出所有满足条件的点的坐标;若不存在,请阐明理由.【分析】(1)由条件可求得A、B的坐标,运用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)可先求得E点坐标,从而可求得直线OE解析式,可知PG=5,用可表达出PG的长,从而可表达出l
12、的长,再运用二次函数的性质可求得其最大值;(3)分C为边和C为对角线,当A为边时,过M作对称轴的垂线,垂足为,则可证得MFNAOC,可求得M到对称轴的距离,从而可求得M点的横坐标,可求得点的坐标;当A为对角线时,设C的中点为K,可求得的横坐标,从而可求得M的横坐标,代入抛物线解析式可求得点坐标【解答】解:(1)矩形OBDC的边D,OB1,AB4,OA=3,A(3,0),B(,0),把、B两点坐标代入抛物线解析式可得,解得,抛物线解析式为y=x+;()在y=x2x2中,令y=2可得2=x2x2,解得0或x=,(2,2),直线E解析式为yx,由题意可得P(m,m2m+2),PG轴,(,),P在直线OE的上方,PG=mm+2(m)m2m2=(m+),直线O解析式为y=x,PGH=COE=5,l=()+=(+)+,当时,有最大值,最大值为;(3)当AC为平行四边形的边时,则有MNAC,且MN=AC,如图,过M作对称轴的