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1、(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；(2)如图2,当4AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC勺中点;(3)如图2,在(2)的条件下，求折痕 FG的长.【答案】解：(1)由折叠的性质可得，GA=GE/AGFWEGF.DC/AB,ZEFGAGF./EFGWEGF.EF=EG=AG，四边形AGEF平行四边形(EF/AGEF=AG。又AG=GE.四边形AGEF菱形。DrAGS(2)连接ONAED是直角三角形，AE是斜边，点。是AE的中点,AED的外接圆与BC相切于点N,ONLBG点。是AE的中点,ON是梯形ABCEB勺中位线。.点N是线段BC的中点。(3) OEO
2、N均是4AED的外接圆的半径，OE=OA=ON=21.AE=AB=4在RtMDE中，AD=2AE=4,./AED=30。FG=2OF在RtOEF中，OE=2ZAED=30,OF【考点】翻折变换(折叠问题)，折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】(1)根据折叠的性质判断出AG=GE/AGFWEGF再由CD/AB得出/EFGWAGF从而判断出EF=AG得出四边形AGEF平行四边形，从而结合AG=GE可得出结论。(2)连接ON则ONLBG从而判断出ON是梯形ABCE勺中位线，从而可得出结论。(3)根据(1)可得出AE=AB从而在RtADE中，可判断
3、出/AED为30，在RtAEFO中求出FQ从而可得出FG的长度。8.依次连接一次I形场地ABCD勺边ARBGCDDA的中点E、F、GH,得到四边形EFGHM为边EH的中点，点P为小明在对角线EG上走动的位置，若AB=10米，BC=10，3米，当PM+PH的和为最小值时，EP的长为。10.如图，在矩形ABCD43,AD=4cmAB=m(m4),点P是AB边上的任意一点(不与点A、B重合)，连接PD,过点P作PQLPR交直线BC于点Q.(1)当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时AP的长；若不存在，说明理由；(2)连接AC,若PQ/AG求线段BQ的长(用含m的代数式表示)；
4、(3)若4PQD为等腰三角形，求以P、QCD为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围.1.已知长方形ABCDAB=3cmAD=4cm过对角线BD的中点。做BD的垂直平分线EF,分别交ARBC于点E、F,则AE的长为.例2.如图，在矩形ABC邛，ADAB,将矢I形ABC所叠，使点C与点A重合，折痕为MNJ连结CN若4CDN的面积与CMN的面积比为1：4,则MN的值为【】BME了LAZiBMCA.2B.4C.2a/5D.2医【答案】Do【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点N作NGLBC于G,由四边形ABCD矩形，易彳#四边形
5、CDN虚矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCNM菱形，由CDN的面积与CMN的面积比为1:4,根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN:CM=14,然后设DN=x,由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：过点N作NGLBC于G,四边形ABCD矩形，四边形CDNG1矩形，AD/BG.CD=NGCG=DN/ANM=CMN由折叠的性质可得：AM=CM/AMN=CMN，/ANM=AMN.AM=AN.AM=CM，四边形AMCN!平行四边形。AM=CM四边形AMCN1菱形。,CDN的面积与CMN的面积比为1:4,DNNCM=1:4。设DN=k贝UAN=AM=CM=CN=4）AD=BC=5xCG=.
6、BM=xGM=3x在RtCGN中，NGCN2CG244x2x2xT5x,在RtAMNG,MNJgM2NG2J3x2Kl5x2=2,6x,幽=也=25故选D。BMxEB V G C例1.如图，在矩形ABC邛，点E,F分别在BC,CD上，将ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B处，又将CEF沿EF折叠，使点C落在EB与AD的交点C处.则BCAB的值为。【考点】翻折变换（斶可题），折畲的性质，矩形的性质，平行的性质，等胰二培形的性质.全等三角形的判定和性质，锐角三角函裁定义，特殊角的三曲函鼓值.D1分折联接CC，;将AABE沿AE折餐，庾点R落在AC上的点B处,又将也再沿EF折叠使点C落在EB与A
7、D的交点C处p*ZDCC=ZECCfi /ECS/DCt.，EC=EC，ECC=NECC,ICC,是/ECD的平分绕。/ZCBV=ZD=90%CC=bC,ACBfCACT)CJ(AAS)H二CB=CD。又二AB三AB,.B是对编线AC中点，WAC=2AB./-ZACE=30.AB.*.tan2ACB=ten30o=BC例3.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H,折痕为EF,连接BP、BH4(1)求证：/APB至BPH(2)当点P在边AD上移动时，PDH的周长是否发生变化？并证
8、明你的结论；(3)设AP为x,四边形EFGP勺面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)如图1,PE=BEEBPhEPB又/EPHWEBC=90,/EPH-/EPBhEBO/EBP即/PBCWBPH又AD/BG，/APB至PBC，/APB至BPH(2)PHD的周长不变为定值8。证明如下：如图2,过B作BQLPH垂足为Q由(1)知/APB至BPH又/A=ZBQP=90,BP=BP.AB国AQBP(AAS。.AP=QPAB=BQ又.AB=BCBC=BQXvZC=ZBQH=90,BH=BH.BC由BQH(HL)。.CH=Q
9、H .PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3)如图3,过F作FM/LAB,垂足为M,贝UFM=BC=AB又EF为折痕，EFBR /EFM廿MEFWABP吆BEF=90。./EFMWABP又./Am/EMF=90,AB=MEEFMABPA(ASA。EM=AP=x2 在RtAPE中，(4BE) 0 一 4 , .当 x=2 时，S有最小值 6。,正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质,勾股定理，二次函数的最值。【分析】（1）根据翻折变换的性质得出/ PBCW BPH 进而利用平行线的性质得出/ APB4PBC 即可得出答案。（2）先由AAS证明4AB
10、国AQBP从而由 HL得出ABC阴 BQH即可得 CH=QH因此，4PDH的周长=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CDe8to（3）利用已知得出 EFW 4BPA从而利用在RtAPE中，（4-BE） 2+x2=B邑 利用二次函数的最值求出即可。4.如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形 ABCD若AD= 6cm,ZABC= 60 ,则四边形 ABCD勺面积等于cm2.+x2=BE2,即BE2+82XCFBEEM2+X。8又.四边形PEFGf四边形BEFCir等，c 1S BE21 CF BC=22，X 4+ x41 9124= x2 2x+8= x 2
11、+6。22【考点】翻折变换（折叠问题）例2.如图，矩形 ABCN, AB=2, AD=4 AC的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F,则EF= E )R F C【考点】线段垂直平分线的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理;【分析】连接EC,AGEF相交于点O。AC的垂直平分线EF,AE=EC四边形ABCDt矩形,/D=ZB=90,AB=CD=2AD=BC=4AD/BG.AOHACOF.AOOEoOCOFOA=OCOE=OF即EF=2OE在RtCED中，由勾股定理得：CE=CD2+ED,即CE=(4-CE)2+22,解得：QE=5。2在RtABC中，AB=2,BC=4,由勾股定
12、理得：AC=2m5,.1.CO=v5o在RtCEO中，CO=5,CE=5,由勾股定理得：EO=。EF=2EO5o22例3.已知一个矩形纸片OACB将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A(11,0),点B(0,6),点P为BC边上的动点(点P不与点BC重合)，经过点QP折叠该纸片，得点B和折痕OP设BP=t.(I)如图，当/BOP=300时，求点P的坐标；(n)如图，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB上，得点C和折痕PQ若AQ=m试用含有t的式子表示m（出）在（n）的条件下，当点C恰好落在边oa上时，求点p的坐标（直接写出结果即可）.【答案】 解：（I）根据题意，/ OBP=90 , OB=
13、6在RtOBP中，由/BOP=30,BP=t,得OP=2t。.Op=og+BP2,即（2t）2=62+t2,解得：11=23,t2=-2/3（舍去）.点P的坐标为（24,6）。（n）OBP、QQCP分别是由OBPAQCP折叠得到的， .OBPAOBPAQC3AQCP ./OPB=/OPB/QPC=/QPC /OPB+/OPB+QPC+/QPC=180,/OPB+QPC=90。OB BPPC CQ ZBOP+OPB=90,.BOP=CPQ又./OBP=C=90,.OBbAPCQ由题意设BP=t,AQ=mBC=11,AC=6贝UPC=11t,CQ=6-m6t.1211-。m-t-t6（0vtv11
14、）。11t6m66（m）点p的坐标为（11；13,6）或（11+：13,6）。【考点】翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理,相似三角形的判定和性质。3小【分析】（I）根据题意得，/OBP=90,OB=。在RtOBP中，由/BOP=30,BP=t,得OP=2t,然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案。(n)由OBP、AQ(CP分别是由4034AQCP折叠得到的，可知 0B陛AOBP QC七AQCP易证得0BbAPC(Q然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案。(出)首先过点P作PH0A于E,易证得APCEsACQA由勾股定理可求得CQ1O11的长，然后利用相似二角形的对应边成比例与m-t211t6,即可求得t的值：66过点P作PE!0A于E,./PEA4QAC=90。 /PCE+/EPC=90。 /PCE+ZQCA=90,/EPC=/QCA。.PEPC .
