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1、第四章弹性变形塑性变形本构方程当我们要确定物体变形时其内部的应力分布和变形规律时，单从静力平衡条件去研究是解决不了问题的。因此,弹塑性力学研究的问题大多是静不定问题。要使静不定问题得到解答,就必须从静力平衡、几何变形和物性关系三个方面来进行研究.考虑这三个方面，就可以构成三类方程，即力学方程、几何方程和物性方程。综合求解这三类方程,同时再满足具体问题的边界条件,从理论上讲就可使问题得到解答。在第二、三两章中,我们已经分别从静力学和几何学两方面研究了受力物体所应满足的各种方程,即平衡微分方程式(-44）和几何方程式（32）等.所以，现在的问题是，必须考虑物体的物性，也即考虑物体变形时应力和应变间
2、的关系。应力应变关系在力学中常称之为本构关系或本构方程。本章将介绍物体产生变形时的弹性和塑性应力应变关系。大量实验证实，应力和应变之间的关系是相辅相成的，有应力就会有应变,而有应变就会有应力。对于每一种具体的固体材料，在一定条件下，应力和应变之间有着确定的关系，这种关系反映了材料客观固有的特性。下面我们以在材料力学所熟知的典型塑性金属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的应力应变曲线（如图1所示)为例来说明和总结固体材料产生弹性变形和塑性变形的特点，并由此说明塑性应力应变关系比弹性应力应变关系要复杂的多。在图-1中，OA段为比例变形阶段.在这一阶段中，应力和应变之间的关系是线性的,即可用虎克定律来表示：
3、 E (4）式中E为弹性模量，在弹性变形过程中,为常数。A点对应的应力称为比例极限，记作P。由A点到点，已经不能用线性关系来表示，但变形仍是弹性的。B点对应的应力称为弹性极限，记作r。对于许多材料,点到B点的间距很小,也即与r数值非常接近，通常并不加以区分，而均以r表示,并认为当应力小于r时,应力和应变之间的关系满足式（41)。在当应力小于r时，逐渐卸去载荷，随着应力的减小，应变也渐渐消失，最终物体变形完全得以恢复。若重新加载则应力应变关系将沿由到B的原路径重现。BF段称为屈服阶段.C点和D点对应的应力分别称为材料的上屈服极限和下屈服极限。应力到达D点时，材料开始屈服。一般来说，上屈服极限受外
4、界因素的影响较大，如试件截面形状、大小、加载速率等，都对它有影响。因此在实际应用中一般都采用下屈服极限作为材料的屈服极限，并记作.有些材料的屈服流动阶段是很长的，应变值可以达到。1。由点开始，材料出现了强化现象,即试件只有在应力增加时，应变才能增加。如果在材料的屈服阶段或强化阶段内卸去载荷，则应力应变不会顺原路径返回,而是沿着一条平行于OA线的MO（或O、KO)路径返回。这说明材料虽然产生了塑性变形,但它的弹性性质却并没有变化。如果在点O（或O、）重新再加载，则应力应变曲线仍将沿着OFG （或OHEFG、OFG）变化，在点（或点、K点)材料重新进入塑性变形阶段。显然,这就相当于提高了材料的屈服
5、极限。经过卸载又加载，使材料的屈服极限升高,塑性降低,增加了材料抵抗变形能力的现象，称为强化（或硬化）。显然，我们注意到材料变形一旦进人塑性变形阶段，应力和应变就不再具有一一对应的关系。在点之前，试件处于均匀应变状态，到达点后，试件往往开始出现颈缩现象。如果再继续加载则变形将主要集中于颈缩区进行,F点对应的应力是材料强化阶段的最大应力,称为强度极限，用Qa表示。由于颈缩区的截面逐渐缩小,所以试件很快受拉被剪断。试件在断裂之前。一般产生有较大的塑性变形.韧性较好的低碳钢材料的应力应变曲线所反映的变形特征既典型又具有代表性.这也为大量固体材料的力学试验结果所证实。综上所述.并对大量固体材料力学试验
6、资料综合分析知，固体材料弹性变形具有以下特点： （1）弹性变形是可逆的。物体在变形过程中,外力所做的功以能量(应变能）的形式贮存在物体内,当卸载时,弹性应变能将全部释放出来，物体的变形得以完全恢复。 (2）无论材料是处于单向应力状态,还是复杂应力状态，在线弹性变形阶段，应力和应变成线性比例关系. （）对材料加载或卸载,其应力应变曲线路径相同.因此,应力与应变是一一对应的关系。 而固体材料的塑性变形具有以下特点： (l)塑性变形不可恢复，所以外力功不可逆。塑性变形的产生过程，必定要消耗能量(称耗散能或形变功）. （2）在塑性变形阶段，应力和应变关系是非线性的.因此,不能应用叠加原理。又因为加载与
7、卸载的规律不同，应力与应变也不再存在一一对应的关系,也即应力与相应的应变不能唯一地确定,而应当考虑到加载的路径(即加载历史）。 （3）当受力固体产生塑性变形时，将同时存在有产生弹性变形的弹性区域和产生塑性变形的塑性区域。并且随着载荷的变化，两区域的分界面也会产生变化。 但判断物体中某一点是否由弹性状态转变到塑性状态，必然要满足一定的条件(或判据),这一条件就称为屈服条件。在分析物体的塑性变形时,材料的屈服条件是非常重要的关系式(详见4-4）。 无疑，在弹性区，材料在加载或卸载的过程中都服从应力应变成线性比例关系，即广义虎克定律（详见4-3）。但在塑性区,加载过程服从塑性规律，而在卸载过程中则服
8、从弹性的虎克定律。为了考虑材料的变形历史、应研究应力和应变增量之间的关系,以这种关系为基础的理论，称为增量理论。在比例变形条件下，通过对增量理论的应力和应变增量关系的积分，就可以得到全量理论的应力和应变关系。增量形式的应力与应变增量的关系和全量形式的应力应变关系都是非线性的关系式,它们就是塑性变形的应力应变关系（详见47）。此外，若对材料加载，应力超过屈服极限后，卸去载荷,然后再反向加载（即由轴向拉伸改为压缩）,则这时产生的新的屈服极限将有所降低,如图4所示，且s。这种具有强化性质的材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向上提高，而在相反方向上降低的效应，是德国的包辛格（J。Baushing
9、r）首先发现的,故称之为包辛格效应.包辛格效应使材料具有各向异性性质。由于这一效应的数学描述比较复杂,一般塑性理论（在本教程)中都忽略它的影响。综上所述可知，塑性力学要比弹性力学的理论复杂得多。为研究塑性力学的需要,这里我们在第一章绪论中对固体材料所做基本假设的基础上，再提出以下附加假设，这些附加假设都是建立在一些金属材料的实验基础上的,它们是: (1)球应力引起了全部体变(即体积改变量）,而不包含畸变（即形状改变量)，体变是弹性的.因此，球应力不影响屈服条件. (2）偏斜应力引起了全部畸变，而不包括体变，塑性变形仅是由应力偏量引起的.因此，在塑性变形过程中，材料其有不可压缩性（即体积应变为零
10、)。 (3)不考虑时间因素对材料性质的影响，即认为材料是非粘性的。 此外必须指出,上述附加假设的前两条对于一般岩土类材料是不适用的。有关岩土类材料的讨论请见。42 弹塑性力学中常用的简化力学模型 不同的固体材料，力学性质各不相同。即便是同一种固体材料，在不同的物理环境和受力状态中,所测得的反映其力学性质的应力应变曲线也各不相同。尽管材料力学性质复杂多变，但仍是有规律可循的，也就是说可将各种反映材料力学性质的应力应变曲线，进行分析归类并加以总结，从而提出相应的变形体力学模型。 对于不同的材料,不同的应用领域，可以采用不同的变形体模型.在确定力学模型时,要特别注意使所选取的力学模型必须符合材料的实
11、际情况，这是非常重要的，因为只有这样才能使计算结果反映结构或构件中的真实应力及应力状态。另一方面要注意所选取的力学模型的数学表达式应足够简单,以便在求解具体问题时，不出现过大的数学上的困难。关于弹塑性力学中常用的简化力学模型分析如下: (1）理想弹塑性力学模型 当材料进行塑性状态后，具有明显的屈服流动阶段,而强化程度较小。若不考虑材料的强化性质,则可得到如图43所示理想弹塑性模型，又称为弹性完全塑性模型。在图4-中,线段OA表示材料处于弹性阶段,线段B表示材料处于塑性阶段，应力可用如下公式求出： 由于公式(42)只包括了材料常数E和s，故不能描述应力应变曲线的全部特征，又由于在=处解析式有变化
12、,故给具体计算带来一定困难。这一力学模型抓住了韧性材料的主要特征,因而与实际情况符合得较好。()理想线性强化弹塑性力学模型 当材料有显著强化率，而屈服流动不明显时,可不考虑材料的塑性流动,而采用如图44所示线性强化弹塑性力学模型.图中有两条直线，其解析表达式为：式中及E1分别表示线段OA及AB的斜率。具有这种应力应变关系的材料，称为弹塑性线性强化材料。由于OA和AB是两条直线，故有时也称之为双线性强化模型.显然，这种模型和理想弹塑性力学模型虽然相差不大,但具体计算却要复杂得多。 在许多实际工程问题中，弹性应变比塑性应变小得多，因而可以忽略弹性应变.于是上述两种力学模型又可简化为理想刚塑性力学模
13、型.(3)理想刚塑性力学模型 如图45所示，应力应变关系的数学表达式为: 上式表明在应力到达屈服极限之前，应变为零,这种模型又称为刚性完全塑性力学模型,它特别适宜于塑性极限载荷的分析。（)理想线性强化刚塑性力学模型 如图-6所示，其应力应变关系的数学表达式为： ()幂强化力学模型 为了避免在=s处的变化,有时可以采用幂强化力学模型，即取： 式中为幕强化系数,介于0与1之间。式(46)所代表的曲线(如图-所示）在=0处与轴相切,而且有：式(47）的第一式代表理想弹性模型，若将式中的A用弹性模量E代替,则为虎克定律式(1)；第二式若将A用s代替，则为理想塑性(或称理想刚塑性）力学模型.通过求解式(
14、-7)则可得=，即两条直线在=1处相交.由于幂强化模型也只有两个参数A和n,因而也不可能准确地表示材料的所有特征。但由于它的解析式比较简单,而且n可以在较大范围内变化，所以也经常被采用.4-3 弹性本构方程弹性应变能函数弹性常数间的关系3-1 广义虎克定律弹性本构方程大量的试验研究结果表明,在许多工程材料的弹性范围内，单向的应力与应变之间存在着线性关系。若取过某点的x方向为单轴向力方向,则简单拉（压）时的虎克定律为： x=E.由于这种关系反映出来的材料变形属性，应不随应力状态的不同而变化,因而人们认为，对于各种复杂应力状态也应有性质相同的关系,故可将上述应力应变线性比例关系推广到一般情况，即在
15、弹性变形过程中，任一点的每一应力分量都是六个独立的应变分量的线性函数;反之亦然.这种形式的应力应变关系,称为广义虎克定律或弹性本构方程，表达为数学形式则为: 式中是amn（、=，2，,6)共36个，是材料弹性性质的表征。由均匀性假设知，这种弹性性质应与点的位置坐标无关，于是弹性系数amn都是与位置无关的常数，故称为弹性常数。如果采用张量记法,则式（48）可缩写为:式（4-9)中的aik与式（48）中的amn的对应关系如表41所示。例如：2 = C1122，C34=C31或C3321， 现在的问题是:广义虎克定律中的36个弹性常数是否都彼此无关?如果不是，那么在各种情况（如在各向同性体情况等）下，它们之间有什么关系?特别是对各种各向异性材料,它们之间又有什么关系？在回答这些问题之前，我们先引入弹性应变能的概念,并给出在普遍情况下应变能的计算公式。
