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1、概率论与数理统计复习题（一）一 填空1.。若与独立，则 ；若已知中至少有一个事件发生的概率为，则 。2且，则 。3设，且，则 ； 。4。若服从泊松分布，则 ；若服从均匀分布，则 。5设，则 6则 。7，且与独立，则 （用表示）， 。8已知的期望为5，而均方差为2，估计 。9设和均是未知参数的无偏估计量，且，则其中的统计量 更有效。10在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。二假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0
2、.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。三高射炮向敌机发射三发炮弹（每弹击中与否相互独立），每发炮弹击中敌机的概率均为0.3，又知若敌机中一弹，其坠毁的概率是0.2，若敌机中两弹，其坠毁的概率是0.6，若敌机中三弹则必坠毁。（1）求敌机被击落的概率；（2）若敌机被击落，求它中两弹的概率。四 X 的概率密度为且E(X)=。（1）求常数k和c；(2) 求X的分布函数F(x)； 五 （X,Y）的概率密度。求 （1）常数k；（2）X与Y是否独立；（3）；六.设X，Y独立，下表列出了二维随机向量（X，Y）的分布
3、，边缘分布的部分概率，试将其余概率值填入表中空白处.七. 某人寿保险公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保费，如果该年内投保人死亡，保险公司应付1000元的赔偿费，已知一个人一年内死亡的概率为0.006。用中心极限定理近似计算该保险公司一年内的利润不少于60000元的概率. 四、解：由密度函数的性质及数学期望的定义，有 即 由知x的密度函数为当x ；当时 当时 五、由（x、y）联合密度的性质有： 即 由可求出（x，y）的联合密度： 故x, y 相互独立。 由知相互独立。六、略七、解：令x为一年内死亡人数，题中10000人投标，每人每年死亡率0.006且每人每年死亡相互独立，故x N（
4、10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x N（60，59.64）设A：保险公司一年内的利润不少于60000元。即A：10000*12-1000x60000概率论与数理统计复习题（二）本复习题中可能用到的分位数：，。一、填空题（本题满分15分，每小题3分）1、设事件互不相容，且则 。2、设随机变量的分布函数为： 则随机变量的分布列为 。3、设两个相互独立的随机变量和分别服从正态分布和，则= 。4、若随机变量服从上的均匀分布，且有切比雪夫不等式则 , 。二、单项选择题（本题满分15分，每小题3分）1、设则有（ ）。 (A) 互不相容； (B) 相互独立；(C) 或； (D)
5、 。 2、设离散型随机变量的分布律为：且，则为（ ）。(A) ；(B) ；(C) ；(D) 大于零的任意实数。3、设随机变量和相互独立，方差分别为6和3，则=（ ）。(A) 9；(B) 15；(C) 21；(D) 27。 4、对于给定的正数，设，分别是，分布的下分位数，则下面结论中不正确的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）5、设()为来自总体的一简单随机样本，则下列估计量中不是总体期望的无偏估计量有（ ）。(A)； (B)；(C)； (D)。三、（本题满分12分） 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化。现在假设人们经分析估计利率
6、下调的概率为60%，利率不变的概率为40%，根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，求该支股票将上涨的概率。四、（本题满分12分） 设随机变量的分布密度函数为试求： （1）常数； （2）落在内的概率； （3）的分布函数五、（本题满分10分）为估计一分钟一次广告的平均费用，随机抽取了100个电台作为样本，计算得样本的平均值元，样本标准差为元，在广告费用X的分布未知时，试求平均广告费的置信区间。解答：由于X的样本容量较大，故认为X近似服从正态分布，临界值， ，于是一分钟一次平均广告费的置信区间为，六、（本题满分12分）
7、 设为来自总体的一个样本，服从指数分布，其密度函数为，其中为未知参数，试求的矩估计量和极大似然估计量。七、（本题满分12分）设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率估计犯罪青少年年龄的置信区间。概率论与数理统计复习题(二)参考解答一、 填空题:1、 P()=1-p-q分析: P()=1-p-q2、 x-112P0.30.30.4 分析:依离散型随机变量的分布函数可得.3、P=0.5分析: x+yN(1,3)Px+y1=F(1)= ()= (0)=0.54、b=3,=2分析: 二.单项选择题1.
8、 D分析: (A)中,A和B互不相容P(AB)=0,但不能反推; (B)中,P(AB)=P(A)P(B)A、B相互独立; (C)中,P(A)=0或P(B)=0与P(AB)=0无关; (D)中,P(A-B)=P(A)2. A分析:由分布律的性质可知:01且=1即=1;由等比数列求和可知:=1=3. D分析:D(2x-y)=27 4. B分析:由各对应分布的分位数性质可得.5. B分析: (A) 显然为总体期望的无偏估计 (B)E(+)=E+E+E=n 显然不是总体期望的无偏估计; (C)E0.1(6+4)=E(0.6+0.4)=0.6E+0.4E=0.6+0.4= (D)E(+-)=E+E+E=
9、+-=三.解答:设A为事件利率下调,那么即为利率不变, 记B为事件股票价格上涨,由题设P(A)=60% P()=40% P(A)=80% P(B)=40%于是 P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(A)+ P()P(B)= 60%80%+40%40%=64%四.解:由密度函数的性质.1) =1+=1=1A=2) =(+)= x落在(,)内的概率为.3)x-1时 F(x)=0 -1x1时 F(x)= x1时 F(x)= F(x)= 五.解答题见资料六.解:x服从指数分布,其密度函数为f(x,)= Ex=+= = =为的矩估计量 极大似然估计: L()= =为的极大似然估计量七.解:设x为青
10、少年犯罪的年龄,依题中各样本值知: 由于未知,故适用 , 得置信区间为所求犯罪青少年年龄的置信区间为(18.44,23.56)概率论与数理统计复习题（三）一.选择题（18分，每题3分）1设为随机事件，且，则必有 是必然事件； .2口袋中有6只红球，4只白球，任取1球，记住颜色后再放入口袋。共进行4次，记为红球出现的次数，则的数学期望； ； ； .3设随机变量的分布密度函数和分布函数为和, 且为偶函数, 则对任意实数,有 4设随机变量和相互独立, 且都服从区间上的均匀分布, 则仍服从均匀分布的随机变量是 5已知随机变量和都服从正态分布:, 设, 则 只对的某些值,有 对任意实数,有 对任意实数,
11、有 对任意实数,有6设未知，则的置信度为的置信区间为 二. 填空题（21分，每题3分）1 已知随机事件，有概率，条件概率，则 2. 已知随机变量的联合分布密度函数如下, 则常数 3 某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为= , 4. 已知二维随机变量的联合分布函数为，试用表示概率 .5. 设是取自的样本，是的无偏估计量则常数 6设（）是来自正态分布的样本，当时， 服从分布，.7设离散型随机变量的联合分布律为 若，则.三. 计算题 （54分，每题9分）1某种产品分正品和次品，次品不许出厂。出厂的产品件装一箱，并以箱为单位出售。由于疏忽，有一批产
12、品未经检验就直接装箱出厂，某客户打开其中的一箱，从中任意取出一件，求： （1）取出的是件正品的概率； （2）这一箱里没有次品的概率2设二维随机变量（X,Y）在区域 上服从均匀分布。求：边缘密度函数.3已知随机变量，试求：方差，协方差，相关系数4学校某课程的考试，成绩分优秀，合格，不合格三种，优秀者得3分，合格者得2分，不合格者得1分。根据以往的统计，每批参加考试的学生中考得优秀、合格、不合格的，各占20、70、10。现有100位学生参加考试，试用中心极限定理估计100位学生考试的总分在180至200分之间的概率。（）5设是取自总体的一个样本，总体 ，。试求：(1) 未知参数的矩估计量；(2) 未知参数的极大似然估计量； (3) 的极大似然估计量.6某种产品的一项质量指标，在5次独立的测试中，测得数据（单位：） 1.23 1.22 1.20 1.26 1.23试检
